■12パターンの微積分問題
微積分問題の傾向も漸化式の場合と同様に、
- 教科書の範囲の境界周辺の問題や
- 教科書だけでは対応しきれないが多く、
- 特に教科書の「発展的内容」に要注意
です。「微積分のツボ」でも入試問題の範囲ごとに例題を上げて解説します。微積分を教科書的に分類すれば、数Ⅱ・数Ⅲの微分・積分で4分類かもしれませんが、入試問題から見ればこれは12のパターンに分類されます。 特に難関大では後半の7つの分野の出題頻度が高いのが特徴です。
●関数と極限
(1)関数の極限 ■極限値1 ■極限値2
(2)数列の極限 ■数列や級数の極限 ■区分求積法
●微積分
(3)微積分の公式と計算 ■微積分公式 ■微積分公式(三角関数）
■微積分公式(分数関数） ■微積分公式（合成関数・逆関数）
文系微積分（数Ⅱ）
(4)数Ⅲ微分 ■数Ⅲ微分
(5)数Ⅲ積分と面積計算 ■数Ⅲ積分 ■数Ⅲ積分（絶対値記号付き）
●微積分応用
(6)体積積分 ■体積積分1 ■体積積分2
(7)媒介変数表示曲線 ■媒介変数表示曲線と体積・弧長積分
(8)極方程式と弧長積分 ■極方程式とその他の弧長積分 ■双曲線関数の問題
(9)関数方程式と微分方程式 ■関数方程式・微分方程式
(10)平均値の定理 ■中間値の定理と平均値の定理
(11)微積分不等式 ■近似式 ■微分不等式問題 ■積分不等式問題
(12)微積分漸化式
体積積分、微積分不等式や双曲線関数問題は最近増えている出題であり、市販の参考書にはほとんど収録されていません。これら微積分の応用問題に対しては、十分準備が可能です。
●入試における微積分問題のキーポイント
[1] 回転体や立体図形の積分の問題
回転体の積分はそうむずかしくはないのですが、回転する図形や断面の図形を自分で計算しなければならない問題は難問に属します。しかし理屈がわかってしまえばそう難しい問題ではありません。入試の最重要ポイントの1つであり、［数Ⅲ］回転体積分問題のツボで解説します。
[2] 積分不等式の問題
これもまったく見慣れない問題によく出くわす分野なのですが、そんなにたくさん種類があるわけではないので、一通り［数Ⅲ］積分不等式問題のツボで解説します。
[3] 関数方程式・微分方程式の問題
関数方程式とは、関数形は与えられずに、関数が満たす方程式だけが与えられてその性質を調べる問題です。この手の問題では、変数に具体的な値を代入したり、微分演算を行ったりして着手点を探します。多くは指数関数、対数関数あるいは三角関数とそれらの組合せに帰着されます。これも入試の最重要ポイントの1つであり、［数Ⅲ］関数方程式と微分方程式で解説します。
[4] 積分の平均値の定理
これも入試の最重要ポイントの1つであり、［数Ⅲ］積分の平均値の定理で解説します。
[5] 双曲線関数が背景にある問題
双曲線関数は三角関数によく似た性質を持つ、指数関数の組合せで表現できる関数です。その名前を明示せずに、出題されます。双曲線関数の性質は［解説］双曲線関数とは何かを参照してください。
