■数Ⅲ微分問題の解法

[1] 関数の挙動を分析する基礎問題
数Ⅲでの関数の挙動の解析は、1次導関数が0になる点とその点での2次導関数の符号が重要です。この種の問題が多分もっとも多いでしょうが、微積分の問題の中では最もやさしい問題なので、どんな関数が出てきても解ける力が必要です。
[例題]
[A]数Ⅲ関数の最大値と最小値を求めるやさしい問題（2003年愛媛大理系41）

この問題を解くのに2次導関数は必須ではないが、増減表がなくてもf’(x)=0 かつf’’(x)>0であるならば最小値、f’(x)=0かつf’’(x)＜0であるならば最大値 が生じるので、手間が省けます。本問ならば、増減表を書くのも面倒ではないのですが、多項式関数など、導関数が簡単な形の場合には、増減表の代わりに２次導関数の符号を調べる方がはるかに簡単です。なお、このテクニックは数Ⅲの範囲に属しますが、文系数学で使ってもまったく問題ありません。文系微積分の対象とする関数に特に適しているテクニックです。
[入試問題]
[B]内外接二等辺三角形の面積の最大値・最小値の問題（有名問題）

[C]空間における三角形の面積の最小値の問題（2016年東大理科3）


[2]三角関数の微分の問題
[A]sin関数の法線と三角形の面積の問題(2012年横浜市大／医12）

[B]三角関数の合成関数の最大値の問題（2011年横浜市大／医11）

[B]関数の挙動を調べる問題（2018年東大理科1）

[B]正弦関数の接線上の点のy座標の最大値の問題（2016年千葉大／医11）

[C]三角関数の振る舞いの問題（2021年東大理科5）


[3]角度不明で解く三角関数の微分の問題
[B]三角関数の角度不明で極大値を求める問題（2017年昭和大／医144）

[C]導関数＝0の解不明で最大値を求める問題（2013年京大理系4）

[C]三角関数の角度不明で最大値を求める問題(2006年京大理系6)

[C]三角関数の極限・微分の融合問題（2016年慶応／理工12）


[4]指数・対数関数・無理関数の微分の問題
[B]対数曲線との交点の有無の問題（2008年京大理系1）

[B]指数関数・対数関数の接線の傾きの問題（2017年順天堂大／医14）

[B]対数関数を含む三角関数の挙動を調べる問題（2014年昭和大／医242）

[C]対数曲線の接線・法線の問題（2014年北里大／医3）

[C]指数関数とべき乗の差＝kの解の個数の問題（2013年東工大3）

[C]円と曲線の接線の交点座標の問題（2013年慈恵医大2）

[C]指数・対数関数の不等式の領域図示と面積の問題（2006年東工大2）


[5] 分数関数の値域の問題
[B]分数関数の値域の問題（2014年自治医大20）

[B]分数関数の値域の問題（2014年京大理系4）
本問は実は数Ⅲは不要です。

[B]分数関数の分子の2次導関数の符号を調べる図形問題（2001年東大理科3）

[B]関数の接線が定点と結んだ直線に直交する条件の問題（2002年東大理科4）

[C]正三角柱の内部の直角三角形の面積の問題（2000年東工大3）

[C]三角関数・分数関数の解の個数の問題(2013年東大理系2)


[C]分数関数と３点で交わる直線が存在する条件を2段階で求める問題（2004年東工大1）


[6] 高次導関数と二項係数の問題
[C]高次導関数と二項係数の問題（2013年横浜市大／医2）