■極方程式の問題

次に示すのは一般的に「リマソン曲線」と呼ばれるもので、極方程式が比較的簡単なので、入試問題によく取り上げられる主題です。曲線が極方程式で与えられている場合、面積、回転体体積や弧長積分は、極座標に変換して計算しますが、面積だけは極方程式専用の計算公式があります。

●リマソン曲線の極方程式とグラフ

• r=2+cosθ（2009年京大理系）
• r=1+cosθ（2009年京大理系甲、2016年神戸大理系5）
• r=2(1+cost)（2011年名古屋市大）

[入試問題]
[1] 極方程式が描く曲線の面積の問題
[B]極方程式が囲む面積を求める問題（2011年横浜市大／医3）

[B]デカルトの葉が囲む面積を求める問題（2015年横浜市大／医12）


[2] 極方程式が描く曲線の回転体の体積の問題（TypeB5）
[D]原点と曲線両端を結ぶ図形の回転体の体積（2012年慶応大／医4）

[C]リマソン曲線の回転体の体積の問題（2009年京大／理系5）

[C]カージオイドの回転体の体積の問題（2011年名古屋市大／芸術4）


[3] 極方程式による弧長積分の問題
極座標・極方程式で表された曲線以外、すなわち直交座標で表された曲線の弧長問題も本項で解説します。
[例題]
[A]極方程式で表された曲線の弧長問題（2005年熊本大理系4）

[入試問題]
[C]カージオイドの極方程式から面積や弧長を求める問題（2016年神戸大理系4）

[C]カージオイド曲線の弧長の最大値・最小値の問題（2019年早大／理工5）

[E]弧長積分と極方程式の題意がわかりにくい難問（2018年慶応大／理工5）