■媒介変数曲線の積分の問題

●３種類の積分公式
極座標での積分は直交座標の積分を変数変換して得られますが、極方程式の場合の面積積分だけは計算公式があります。弧長積分も極方程式のための積分公式がありますが、公式がない場合は、極方程式から極座標に変換して実行します。


●媒介変数表示曲線が囲む領域の面積計算
この分野に共通する注意事項をあらかじめ解説しておきます。

[例題]
●サイクロイド例題

●カージオイド例題

●アステロイド例題


[入試問題]
[1] 一般的な媒介変数表示曲線の面積の問題
[B]極座標表示曲線が囲む面積の問題（2014年自治医大25）

[B]媒介変数表示曲線の問題（2018年阪大理系3）

[B]リサージュ曲線に関する基礎的な問題（2019年順天堂大／医13）

[C]極座標表示曲線の速度ベクトルの問題（2015年東工大4）

[D]媒介変数表示曲線が囲む領域の面積の問題（2008年東大理科6）


[2] 典型的な媒介変数表示曲線の面積の問題
[B]サイクロイドが囲む面積を求める問題（2006年青山学院大／電気電子5）

[B]エピサイクロイド曲線のグラフと面積の問題（2016年東工大5）

[C]アステロイド曲線が囲む面積を求める問題（2014年慶應大／理工5）

[C]カージオイドの概形描画と面積計算の問題（2015年千葉大／医12）

[C]円内の内サイクロイド内外の面積の問題（2004年東大理科3）

[D]サイクロイド類似曲線が囲む面積を求める問題（2016年慈恵医大2）


[3] 極座標で表された回転体の体積の問題（TypeB4）
[B]サイクロイド曲線の回転体の体積の問題（2017年東京理科大／理工／情報2）

●ラメ曲線に関する問題
[C]絶対値記号付き媒介変数表示曲線の面積・体積の問題（2015年東医歯大3）

[C]アステロイド曲線の融合問題（2015年慶応大／医3）


[4] 極座標で表された弧長積分の問題

[C]極座標で表された曲線の弧長の極限の問題（2011年東大理科3）

[C]内サイクロイド曲線の弧長積分の問題（2017年日大／医5）

[C]カージオイドの弧長積分の問題（2005年岡山大／理系3）

[C]カージオイドの弧長積分の問題（2016年東海大／医22）


[5] 媒介変数表示曲線の問題
慶応大／医で出題頻度が高い媒介変数曲線の難問群です。
[C]２次曲線や弧長積分を組み合わせた媒介変数曲線の問題（2019年慶応大／医3）

[D]位置ベクトル・速度ベクトルに関する微積分応用問題（2016年慶大／医4）

[E]媒介変数表示曲線を回転した曲線の問題（2018年慶応大／医4）