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完全対策 N0.3 微積分応用問題の極意

はじめに
本書は、難関大・医大受験に必須の四大項目に関し、重要例題・入試問題を厳選して体系的に編集した、見慣れない問題をなくするため、難問の手掛かりを探すための最強の参考書です。
第1章 微積分の基本的問題
「○○値の定理」はすべて、難問につながります。微分の問題の多くはマクローリン展開が関係しています。近似式や高次導関数、tanxの逆関数なども同様です。これらは他の章の内容よりは若干取り付きやすいので、先頭の章に配しました。
第2章 微積分不等式問題
出題されて多分最大の難関は積分不等式ではないでしょうか。これは積分区間を適用するか、被積分関数を置き換えて解ければ簡単な方で、さらには面積を矩形・三角形・台形などで抑え込んで、はさみうちの原理を適用する方法を利用します。本章では、これらの問題の体系的分類を冒頭で解説し、入試問題を順番に体系的に解説しています。
微分不等式の中で、マクローリン展開だけでは解けない問題も本章に収録しました。
第3章 体積積分の問題
直交座標系の体積積分は、断面積分・回転体積分・交差立体積分の3つに分類できますが、いずれも断面積をその平面に直交する軸上の変数で表して積分します。断面積分は、軸上の変数で断面積が容易に計算できれば容易なのですが、かなり難しい問題もあります。最初の例題では、直円柱を例にとり、xyz軸のどの軸で積分すべきか、を選ぶ眼力をトレーニングします。
回転体積分にもいろいろ種類がありますが、円錐で済むか2次関数が出てくるかは、問題を一目見れば判別できます。しかし回転体が交差している場合は、再度断面積分に戻ります(これを本書では交差立体積分と呼んでいます)。
回転軸がxyz軸なら簡単なのですが、それが最近はy=xあるいはy=mxの周りに回す問題が出題され、もっと面倒なのは立方体の対角線の回りに回す問題です。
本章では、これらの問題を順番に体系的に解説しています。
本章での例題とほぼ同じ問題が2題、2017年の入試問題で出題されました。「予想問題的中」というところでしょうか。
第4章 媒介変数表示曲線の積分と 弧長積分の問題
この分野の問題も、直交座標、極座標、極方程式のそれぞれで解き方が微妙に変わります。直交座標の面積積分はやさしいので本書ではあまり取り扱わず、体積積分は第3章であつかったので、直交座標では弧長積分だけが本章の対象になります。これは本章の最後で取り扱います。
本章では、これらの問題の体系的分類を冒頭で解説し、入試問題を順番に体系的に解説しています。
最初に、サイクロイド、カージオイド、アステロイドに関する面積積分・体積積分・弧長積分の完全な例題を示します。媒介変数曲線はこれら3つの場合が基礎になります。そしてこれらの後で、一連の入試問題を解説します。
極方程式問題が今後増えてくる予感がします。

2017年5月
著者

目次
第1章 微積分の基本的問題
1.1 平均値の定理とその応用問題(基本例題×1、入試問題×5)
1.2 近似式と微分不等式(基本例題×2、入試問題×2)
1.3 高次導関数とマクローリン展開とtanxの逆関数(入試問題×4)
1.4 ニュートン近似の問題(入試問題×4)

第2章 微積分不等式問題
2.1 積分不等式の5つの分類
2.2 積分区間の大きさを評価し被積分関数を置き換える問題(基本例題×1、入試問題×1)
2.3 矩形・三角形・台形などではさんで評価する問題(入試問題×6)
2.4 無限級数に置き換えて解く問題(基本例題×1、入試問題×1)
2.5 数式の性質を利用して解く問題(基本例題×1、入試問題×1)
2.6 その他の積分不等式の問題(入試問題×2)
2.7 微分不等式の問題(基本例題×1、入試問題×5)

第3章 体積積分の問題
3.1 体積積分の8つの分類
3.2 比較的やさしい断面積分の問題(基本例題×1、入試問題×4)
3.3 座標軸まわりの回転体の体積の問題(基本例題×1、入試問題×7)
3.4 ねじれた線分を回転させる回転体積分の問題(入試問題×3)
3.5 xy平面上の傾いた直線のまわりの回転体の問題(基本例題×1、入試問題×6)
3.6 空間で傾いた直線のまわりの回転体の問題(入試問題×1)
3.7 公差立体の積分(断面積分)(基本例題×1、入試問題×4)

第4章 媒介変数曲線積分・弧長積分の問題
4.1 媒介変数表示曲線の分類
4.2 サイクロイド・カージオイド・アステロイドの例題)(基本例題×3)
4.3 サイクロイド・トロコイドについての入試問題(入試問題×2)
4.4 カージオイドなどエピサイクロイドについての入試問題(入試問題×4)
4.5 アステロイド曲線などについての入試問題(入試問題×3)
4.6 超楕円についての入試問題(入試問題×4)
4.7 極方程式の面積積分・弧長積分の問題(基本例題×2、入試問題×3)
4.8 双曲線関数を材料にした問題(基本例題×2、入試問題×2)
4.9 極方程式の体積積分の問題(入試問題×3)
4.10 直交座標における弧長積分問題(基本例題×2、入試問題×2)