■完全対策 N0.1 整数問題の極意

はじめに
●2017年に難関大・医大で出題された整数問題
2017年に東大では、女子学生増加方針によるものなのか、難易度がかなり下がり、好例の難問整数問題が出題されませんでした。東大入試からこの種の問題を取ると、応用力が優れていればそう難しい入試ではなくなります。2017年は整数問題は出題されませんでした。同様に阪大でも、整数問題の出題がありませんでした。そういう場合は2018年には何らかの整数問題が出題されることになるでしょう。
2017年には次のような問題が出題されています。

• ○約数・倍数の問題と不等式と場合分けで解く問題 （2015年京大）
  京大では何と、整数問題が文理ともども2題ずつ出題されました。中程度の問題でそうむずかしくはないのですが、今年は整数問題重視の年です。
  
• ○2次の積の整数方程式の問題 （2017年一橋大）
  2つの解法が考えられる、中程度の難易度の良問です。
  
• ○指定した約数を持つ自然数の問題 （2017年東工大）
  どういう解法でもがんばれば解ける、とっつきやすい問題です。
  
• ○整数不定方程式の問題 （2017年名大文系）
  結構歯ごたえのある名問です。
  
• ○自然数の解の数を求める問題 （2017年慈恵医大）
  

素数と平方数の性質を利用して自然数解の個数を答える問題です。よく考えれば解けます。同大では整数や格子点問題がよく出題されています。
○自然数の割り算に関する新記号問題 （2017年昭和大医学部）
同大にしては難解な整数問題です。
●整数問題は12種のパターンに分類できる
「整数問題」を苦手とする受験生諸君は多いと思うのですが、その原因は「どの方法を使えばよいのかわかりにくい」という点です。公式一辺倒では解けない問題が出題されます。
参考書の歴史も浅いため、あまりわかりやすいものもありません。あったとしても「問題集」にすぎず、分類も不十分で、とてもわかりやすいといえるものではありません。
整数問題は、大きく３つに分類できます。

• 計算して解ける整数問題…これは簡単な部類の問題に属します。
  
• 証明が面倒な問題…一般的には手ごわい問題が多いようです。
  
• 他の分野との複合問題…これにはさまざまな難易度の問題があります。
  

特に、計算して解ける整数問題はやさしい問題です。この種の問題は、取りこぼさないで得点する必要があります。このような分類を元にして本書では、整数問題を次のように「12のパターン」に分類しました。
●計算で解ける整数問題
前半の６つのパターンは計算で解ける整数問題です。
[1] 不定方程式や不等式の問題（第1章）
本来は解けない問題を、整数という条件を適用して解く問題です。もっとも代表的なものといえましょう。それぞれの場合に対して、やはりかならずパターンやテクニックがあります。場合によっては組み合わせることもあります。これで解けない問題は少しむずかしくなります。
[2] ユークリッド互除法と２元１次の不定方程式の問題（第2章）
数Aに登場したユークリッド互除法を使う問題も今後頻出でしょう。これらは第1章にまとめます。
方程式・不等式以外、「約数の数と合計」の問題以外の計算可能な問題は、おおむね第3章にまとめました。
[3] 桁ごとの数を未知数とおいて求める（第3章）
各桁の数を求める問題ですが、多くは計算問題であり、解きやすい問題です。
[4] 剰余類を利用して解く（第3章）
計算できるなら証明は容易です。剰余類はその最大の武器です。
[5] 新記号問題としての整数問題（第3章）
ガウス記号などの新記号問題は、既習の数学とどう関係づけるかが課題です。
約数・倍数の問題は、「約数の数と合計」の問題を含めて第4章に、素数の問題は第5章にまとめました。
[6] 約数の数と合計の問題（第4章）
計算できるなら証明は容易です。約数の数と総計の計算は公式を利用します。改訂に際し、第４章に「n進数」の節を追加しました。
[7] 階乗に含まれる素数の数の問題（第5章）
ルジャンドルの問題以外の素数問題は、計算問題にはならず、結構手ごわい問題になります。
●証明が必要な整数問題
一部計算問題もありますが、後半の６つのパターンの多くは普通の論証や数学的帰納法や背理法などを利用して解く、若干むずかしい問題です。約数・倍数は第4勝、素数は第5章、それら以外の証明問題は第6章にまとめました。
[8] 約数・倍数・素数の総合問題（第4章・第5章）
約数・倍数・素数の性質を使って解く問題もあります。
[9] 「隣り合う整数は互いに素」の定理を使う（第6章）
証明問題が多く、結構厄介な問題です。
[10] 多項式の整数性や割り算などの問題（第6章）
多項式の整数性・複素数解に関する問題や多項式の割り算に関する問題は、整数問題の中の大きな分野です。
[11] 数学的帰納法を使って証明する（第4章）
正面切って解けない問題や、整数nの絡んだ問題はこれで解ける場合があります。
[12] 背理法を使って証明する問題（第4章）
有理数・無理数の問題など、整数nが出てこない証明問題の大半は背理法を使って証明します。
●二項係数・組合せ記号や二項定理・多項定理にかかわる問題（番外編）
整数問題と融合された二項係数・組合せ記号や二項定理・多項定理にかかわる問題も多く、これらの問題は、上の12パターンが使いこなせれば、そうむずかしい問題ではありません。これらの問題を第7章にまとめます。
●本書の内容と難易度
本書では、数Aのみならず、すべての分野で登場する整数問題を一括してあつかいます。また本書は、「すべての入試問題」を収録する「完全対策シリーズ」に属するもので、「難問」は特に詳しく解説しています。ただし、余りにも難問で、再度の類題の出題がなかなか考えられない問題は割愛しています。円周率の無理数性の証明だけは超難問も収録しています。
●本書の構成
したがって本書の構成は次のようになります。
○第1章： 因数分解・判別式不等式で解く整数問題
もっとも解きやすい、整数方程式や整数不等式の問題の解法を解説します。座標空間で考えるなら、x座標やy座標が整数の格子点について考える、計算で解ける整数問題です。
○第2章： ユークリッドの互除法で解く整数問題
ユークリッドの互除法で解く整数問題だけを第1章から分離独立させました。
○第3章： 計算で解けるさまざまな整数問題
桁ごとの数を未知数とおいて求める問題、 剰余類を利用して解く問題やガウス記号問題の解法を解説します。これらも計算で解ける整数問題であり、多くは証明問題よりやさしい問題です。
○第4章： 約数と倍数の問題
約数・倍数・素数の総合問題など、ほぼ計算で解ける問題をまとめました。
○第5章： 素数の問題
計算で解ける、ルジャンドルの定理を利用オする問題や「隣り合う整数は互いに素」の定理を使う証明問題をまとめました。
○第6章： 整数についての証明問題
前章までに紹介できなかった、主として約数・倍数・素数以外の事項にかかわる整数の証明問題です。整数nにかかわる数学的帰納法による証明問題や、有理数・無理数にかかわる背理法による証明問題などです。
○第7章： 二項係数・多項係数にかかわる整数問題
二項係数・組合せ記号や二項定理・多項定理にかかわる問題は本章にまとめました。したがって、整数問題とはいえない問題も若干含まれます。これらの事項の総合的理解を深めてください。

本書により、受験生諸君が1つの大きな武器を手にされることを祈願します。

2017年７月
著者


目次

第１章　因数分解・判別式と不等式で解く整数問題
1.1　不定方程式の解法
●不定方程式の解法
●１次の不定方程式の解法と例題
《基本例題1.1.1》（2元１次の不定方程式） 新作問題
●２次以上の不定方程式の解法と例題
《基本例題1.1.2》（2元2次の不定方程式） 新作問題
●平方根が整数の例題
《基本例題1.1.3》（平方根が整数の問題…その1） 新作問題
《基本例題1.1.4》（平方根が整数の問題…その2） 新作問題
●1次と2次の不定方程式の入試問題
《入試問題1.1.1》（難易度B） 複数大学
《入試問題1.1.2》（難易度C） 2007年大分大／医
●３次の和差の不定方程式の入試問題
《入試問題1.1.2》（難易度C） 2005年京大文系・理系
《入試問題1.1.3》（難易度C） 2009年一橋大
《入試問題1.1.4》（難易度C） 2013年一橋大
1.2　少し面倒な整数方程式の問題
●2次の積の整数方程式の問題
《入試問題1.2.1》（難易度C） 2017年一橋大
●3次の積と和の整数方程式の問題
《入試問題1.2.2》（難易度C） 2004年東京女子大
《入試問題1.2.3》（難易度D） 2006年東大理科
●4次の和の不定方程式の入試問題
《入試問題1.1.5》（難易度C） 1991年東京女子大
●解の条件から係数を求める不定方程式
《入試問題1.2.5》（難易度C） 2002年京大／理系
●整数方程式の解の数と確率の問題
《入試問題1.2.6》（難易度C） 2013年日大／医
1.3　分数形式の不定方程式
●和が１の問題
《入試問題1.3.1》（難易度C） 複数大学
●和が１/2の問題
《入試問題1.3.2》（難易度C） 2017年名大文系
●積が定数の問題
《入試問題1.3.3》（難易度C） 2011年一橋大
《入試問題1.3.4》（難易度C） 2010年阪大理系
1.4　整数不等式の問題
●格子点問題
《基本例題1.4.1》（格子点問題） 2004年慶応大／総合政策
●２次不等式の解の数を数える問題
《基本例題1.4.2》（１元2次の不定不等式） 2008年一橋大
《入試問題1.4.1》（難易度B） 2012年慈恵医大
●不等式と場合分けで解く問題
《基本例題1.4.3》（３元１次の不定不等式） 2002年京大文系
《入試問題1.4.2》（難易度C） 2017年京大文理共通
《入試問題1.4.3》（難易度D） 2015年神戸大文理共通
●微分も利用する入試問題
《入試問題1.4.4》（難易度B） 2015年東大文科

第2章　ユークリッドの互除法の問題
2.1　ユークリッドの互除法と一次不定方程式の解法
●ユークリッドの互除法とは何か
●ユークリッドの互除法の証明
●ユークリッドの互除法による最大公約数の計算
《基本例題2.1.1》（最大公約数を求める） 新作問題
●ユークリッドの互除法による一次不定方程式 ax+by=c の解法
●一次不定方程式ax+by=cの一般解
2.2　ユークリッドの互除法の応用問題
●ユークリッドの互除法の入試問題
《基本例題2.2.1》（ユークリッドの互除法） 新作問題
《入試問題2.2.1》（難易度B） 2017年横浜市大／医
《入試問題2.2.2》（難易度C） 1998年お茶の水女子大
●ユークリッドの互除法を基礎とする不定方程式の問題
《基本例題2.2.2》（不定方程式の問題） 新作問題
《入試問題2.2.3》（難易度B） 2015年センター試験
《入試問題2.2.4》（難易度C） 2016年一橋大

第3章　計算で解けるさまざまな整数問題
3.1　桁ごとの数を未知数とおいて解く問題
●本章で解説する計算で解ける整数問題
●桁ごとの数から得られる常識
●桁ごとの数を未知数とおいて解く例題
《基本例題3.1.1》（2桁の整数を求める問題） 新作問題
《基本例題3.1.2》（2桁の自然数を求める問題） 2011年関西大理系
●桁ごとの数を未知数とおいて解く入試問題
《入試問題3.1.1》（難易度C） 2007年東大文科
《入試問題3.1.2》（難易度C） 2004年東大理科
《入試問題3.1.3》（難易度C） 2007年東京女子大
3.2　剰余類を使って解く問題
《基本例題3.2.1》（約数に6を含むことの証明） 新作問題
《入試問題3.2.1》（難易度B） 2001年京大文系
《入試問題3.2.2》（難易度B） 2004年早稲田大／政経
《入試問題3.2.3》（難易度C） 2013年阪大理系
《入試問題3.2.4》（難易度C） 2014年京大理系
《入試問題3.2.5》（難易度C） 2010年神戸大文系
3.3　ガウス記号の例題
●ガウス記号の基礎知識
《基本例題3.3.1》（ガウス記号を使った方程式） 新作問題
《基本例題3.3.2》（ガウス記号の総合問題） 新作問題
《基本例題3.3.3》（ガウス記号の極限値の問題） 新作問題
《基本例題3.3.4》（ガウス記号の極限値の問題） 新作問題
3.4　ガウス記号が使われた整数問題の入試問題
《入試問題3.4.1》（難易度C） 2009年早稲田大／理工
《入試問題3.4.2》（難易度C） 2014年早稲田大／商
《入試問題3.4.3》（難易度C） 2011年北大理系
《入試問題3.4.4》（難易度C） 2012年東工大
3.5　ガウス記号が使われたさまざまな融合問題
《入試問題3.5.1》（難易度C） 2007年上智大／理工
《入試問題3.5.2》（難易度C） 2000年阪大／理系
《入試問題3.5.3》（難易度C） 2015年東京医科歯科大
《入試問題3.5.4》（難易度D） 2007年早稲田大／商
《入試問題3.5.5》（難易度D） 2011年東大文科
《入試問題3.5.6》（難易度D） 2016年東大理科

第4章　約数と倍数の問題
4.1　計算で解ける約数・倍数の問題
●約数の数と合計の問題
●計算で解ける約数・倍数の例題
《基本例題4.1.1》（約数の数と総和を求める問題） 2004年明大／政治経済
《基本例題4.1.2》（約数の数と総和を求める問題） 2008年早稲田大／商
《入試問題4.1.1》（難易度B） 2006年東京理科大／理工
《入試問題4.1.2》（難易度B） 2011年早稲田大／商
《入試問題4.1.3》（難易度B） 2010年広島大理系
《入試問題4.1.4》（難易度C） 2012年一橋大
《入試問題4.1.5》（難易度C） 2017年京大文理共通
《入試問題4.1.6》（難易度C） 2017年東工大
4.2　倍数・約数についての問題
●最大公約数・最小公倍数
《基本例題4.2.1》（自然数を約数と最大公約数の積で表す問題） 新作問題
《入試問題4.2.1》（難易度C） 2015年東工大
●約数の問題
《入試問題4.2.2》（難易度C） 2012年阪大理系
《入試問題4.2.3》（難易度C） 2017年昭和大／医
《入試問題4.2.4》（難易度C） 2016年阪大文系
《入試問題4.2.5》（難易度C） 2016年阪大理系
《入試問題4.2.6》（難易度C） 2016年東工大
《入試問題4.2.7》（難易度C） 2008年東大理科
●数列の倍数性の問題
《入試問題4.2.8》（難易度B） 2014年東工大
《入試問題4.2.9》（難易度C） 2010年一橋大
4.3　n進数についての問題
●記数法の相互変換
《基本例題4.3.1》（n進数の相互変換） 2016年センタ-試験
《基本例題4.3.2》（2進数の末尾に並ぶ0の個数の問題） 2017年センタ-試験
《基本例題4.3.3》（記数法の決定） 新作問題
《入試問題4.3.1》（難易度C） 2002年関西大
《入試問題4.3.2》（難易度C） 2016年京大文系
《入試問題4.2.3》（難易度C） 2016年東大文科

第5章　素数の問題
5.1　素数についての問題
●素数問題の例題
《基本例題5.1.1》（双子素数の間の整数） 有名問題
《基本例題5.1.2》（因数分解を利用する問題） 2001年千葉大理系
《入試問題5.1.1》（難易度C） 2007年京大文理共通
《入試問題5.1.2》（難易度C） 2006年京大理系
《入試問題5.1.3》（難易度C） 2016年京大理系
《入試問題5.1.4》（難易度C） 2017年慈恵医大
《入試問題5.1.5》（難易度D） 2014年一橋大
5.2　階乗に含まれる素数の問題
●ル・ジャンドルの定理
《基本例題5.2.1》（階乗に含まれる2の個数の問題） 2008年早稲田大／教育
《基本例題5.2.2》（末尾に続く０の個数の問題） 新作問題
《入試問題5.2.1》（難易度C） 2009年京大文科
5.3　「隣り合う整数は互いに素」で解く問題
●「隣り合う整数は互いに素」の証明
《基本例題5.3.1》（「隣り合う整数は互いに素」を利用する問題） 新作問題
《入試問題5.3.1》（難易度C） 2005年東大文理共通
《入試問題5.3.2》（難易度C） 2012年東大理科
5.4　完全数の問題
●完全数、過剰数、不足数とは何か
●完全数とメルセンヌ素数
●メルセンヌ素数と完全数の関係
《入試問題5.4.1》（難易度C） 2000年佐賀大
《入試問題5.4.2》（難易度C） 2007年千葉大理系後期

第6章　整数に関する証明問題
6.1　有理数・無理数の証明問題
●平方根が無理数であることを証明する例題
《入試問題6.1.1》（難易度B） 2015年阪大理系
《入試問題6.1.2》（難易度B） 2012年京大理系
《入試問題6.1.3》（難易度B） 2007年佐賀大文系
●tan、e、π が無理数であることを証明する例題 203
《入試問題6.1.4》（難易度C） 2006年京大文理後期
《入試問題6.1.5》（難易度B） 新作問題
6.2　数式の性質を証明する問題
《入試問題6.2.1》（難易度B） 2011年新潟大／医
《入試問題6.2.2》（難易度B） 2012年順天堂大／医
《入試問題6.2.3》（難易度C） 2007年東大理科
《入試問題6.2.4》（難易度C） 2010年一橋大
6.3　数式の割り算の問題
●数式の割り算の問題の解法
《基本例題6.3.1》（実際に割り算を行って解く問題） 2013年自治医科大
《入試問題6.3.1》（難易度B） 2013年京大文系
《入試問題6.3.2》（難易度B） 2014年自治医科大
《入試問題6.3.3》（難易度C） 2002年東大文理共通
《入試問題6.3.4》（難易度C） 2013年京大理系
《入試問題6.3.5》（難易度E） 2015年京大文理共通
6.4　数学的帰納法を使うその他の証明問題
《入試問題6.4.1》（難易度B） 2013年東工大
《入試問題6.4.2》（難易度B） 2013年学習院大／法
《入試問題6.4.3》（難易度B） 2013年静岡大理系他
《入試問題6.4.4》（難易度E） 2013年東工大
《入試問題6.4.5》（難易度E） 新作問題

第7章　二項定数・多項定理にかかわる問題
7.1　二項係数の問題
●二項定理・二項係数と整数問題
《基本例題7.1.1》（二項定理の証明） 新作問題
《基本例題7.1.2》（二項係数の計算問題群） 複数大学問
《入試問題7.1.1》（難易度B） 2010年佐賀大文系
《入試問題7.1.2》（難易度C） 2005年/2013年横浜市大／医
《入試問題7.1.3》（難易度C） 2013年横浜市大／医
7.2　組合せ記号や二項係数が登場する整数問題
《基本例題7.2.1》（二項係数が自然数であることの証明） 有名問題
《入試問題7.2.1》（難易度B） 2006年早稲田／政経
《入試問題7.2.2》（難易度D） 2009年東大文理共通
《入試問題7.2.3》（難易度D） 2015年東大理科
7.3　整数・自然数の多元一次不定方程式の解の数の問題
●整数を分割する不定方程式の解の数
《基本例題7.3.1》（整数解の数の問題） 新作問題
《基本例題7.3.2》（3桁の整数の数の問題） 新作問題
《入試問題7.3.1》（難易度C） 2006年東京医科歯科大
《入試問題7.3.2》（難易度C） 2004年京大理系後期
7.4　多項定理の問題
●三項定理の証明
《基本例題7.4.1》（三項式の係数を求める例題） 2013年北里大／医
《基本例題7.4.2》（４元１次の不定方程式） 1991年関西学院大
《入試問題7.4.1》（難易度C） 2013年岩手大文系