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●東大・京大・一橋大の文系数学入試問題解説書(2015年-2019年)

はじめに
本書は、東大・京大・一橋大の3大学の文系入試で出題された、2013年から2019年の9年間の入試問題の中から良問を選び、2015年から2019年の直近5年分は全問を選択して、分野別に配置し、分野ごとには難易度順に配列した、文系入試対策としては最強の入試対策書籍です。
この場合、出題対象が理系受験生であろうと、問題の内容が数ⅠAⅡBの範囲である問題はすべて含めてあります。また頁数は300頁をめどとして選んでいます。あまり大部でも受験生の負担になると思いました。
さらに、今後出題されそうな入試問題、解いておいた方が得点に貢献するであろう問題を、理系入試・医大入試などからも選んで追加しました。つまり、「この1冊を学習すれば合格できる対策書」として編集したものです。
本書に収録した問題数は次のようになっています。
一橋大 30題
京大 39題
東大 35題
その他 45題
合計 149題
問題の解法には色々種類がありますが、主として、試験場で思いついて書くことができる、泥臭い解法を書きました。図版満載の上、計算過程もできるだけ端折らずに書いてあるので、かなり読みやすいでしょう。その上で複数の解法が考えられる場合には、すべての解法を書きました。本書における記述方針と、難易度・新奇度・計算量の評価の基準は次項に示しました。
また、穴埋め式の問題では、読むだけではどんな問題か把握しにくいので、本書ではこれを記述式の問題に書き直して、斜め読みでも問題が理解できるようにしてあります(これを本書では「改題」と呼びます)。
●3大学文系入試問題の難易度
東大の難易度が近年は大幅に低下しているので、東大特有の難問は今年は除外しましたもともとDEレベル(難問・超難問)への対策というものはあまり意味がなく、あるとすればCレベルの問題へ立ち向かう際に、どれだけ自分をトレーニングできるかということにつきます。したがって本書では、DEレベル問題は2015年~2019年に実際に出題された問題に限ってあります。
●3大学文系入試問題の出題傾向
これらの大学では、確率・確率漸化式の問題とベクトル・文系微積分の問題はすべてクリアした上で、整数問題の成否が合格を決めるというのが毎年の傾向です。
その中で特に京大の場合には、2010年に「立方体を斜めに回転した回転体の体積」の問題がありましたが、この主の問題は以降出題されていないので、今回は外しました。
本書に収録する問題を選ぶうえで困ったのは、「場合の数だけの問題」「ユークリッドの互除法の問題」「4次関数の微積分」の問題の出題が少ないということです「場合の数だけの問題」は、多くは確率の問題として出題されてしまうのですが、「ユークリッドの互除法の問題」と「4次関数の微積分」は避けて通れません。これらの分野の問題は、理系入試・医大入試の問題から補充しました。
「ユークリッドの互除法の問題」の問題は、これから出題されると考えられます。「4次関数の微積分」もこれからでしょう。学習指導要領の改訂によって、文系微積分では、何のためらいもなく4次関数が出題できることになっています。
本書が東大・京大・一橋大などの文系難関大合格の一助となれば幸甚です。
2019年4月
著者

第1章 数Ⅰ
[数と式]
多項式を決定する問題 (一橋大)
複次式の不等式の成立条件の問題 (京大文系)
絶対値記号付きの2次関数の問題 (2019年京大文系2) [B/A/B]
[図形と計量]
余弦定理の問題
余弦定理を使って解く鋭角三角形の問題 (東大文科)
余弦定理と2次方程式を使って解く問題 (東大文科)
空間図形の計量
表面積最小の直円錐の問題 (一橋大)
体積一定で表面積最小の直円柱の問題 (東京女子医大)
直交する円周間距離の最小値・最大値の問題 (一橋大)
[論証の問題 ]
2次関数と組み合わせた命題と論証の問題 (2019年京大文系3)
2次関数と不等式領域の問題 (東大文科1)

第2章 数A
[場合の数の問題]
9人を4つの部屋に割り当てる場合の数の問題 (慶応/医11)
同じものを含む順列の問題 (関西学院大)
碁盤上の碁石の配置の問題 (慶応/総合政策)
立方体の各面の色塗りの問題 (順天堂大/医)
[確率の問題]
ゲームの確率
さいころをn回投げた目の差の確率の問題 (京大文系)
さいころの確率の数列の総和の問題 (2019年京大文理共通)
コインゲームの勝率の問題 (東大文科)
くじをひく回数の問題 (京大文系)
数直線・格子点上の移動の確率
格子の上を移動する確率の問題 (京大文系)
数直線上の対称移動確率の問題 (京大文系)
格子点上の移動の確率の問題 (東大文科)
数学的な確率
正三角形の辺上の移動の確率の問題 (東工大)
正八角形の頂点上の移動確率の問題 (2019年東大文3)
多角形上の平行直線の確率の問題 (一橋大)
割り切れる確率の問題 (一橋大) [C/C/C]
条件付き確率
3色のメダルの条件付き確率の問題 (北大理系)
確率数列と条件付き確率の問題 (東大文科)
[整数問題]
ユークリッドの互除法の問題
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その1 (横浜市大/医)
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その2 (慶應大/医)
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その3 (慶應大/医)
ユークリッドの互除法と図形と方程式の融合問題 (新作問題)
ユークリッドの互除法か不等式を使う整数問題 (一橋大)
ユークリッドの互除法を利用する基本問題 (神戸大理系)
整数計算問題
積=和の不定方程式を解く問題 (複数年東京女子大)
因数分解と素因数分解で解く問題 (一橋大)
奇数の積が整数の2乗にならないことを示す問題 (東大理科)
2次対称型の不定方程式を解く問題 (一橋大)
自然数数列が非平方数を含むことを示す問題 (2019年一橋大1)
2次式・3次式の整数問題 (東大文科)
分数和の不定方程式を解く問題 (名大文系)
各桁の数を未知数と置いて解く問題
各桁の数を未知数と置いて解く問題 (東京女子大)
各桁の数を未知数と置いて解く問題 (一橋大1)
記数法の問題
記数法の問題 (新作問題)
10進数の1の位の問題 (関西大)
複数の記数法の問題 (神戸大)
何進法かを問う問題 (京大文系)
桁数を問う問題 (一橋大後期)
その他の整数問題
倍数の数の問題 (京大文系)
三角関数の整数問題 (京大文系)
組合せ記号に関する問題
組合せ記号に関する整数問題 (東大文科)
組合せ記号に関する整数問題 (東大理科)
組合せ記号を偶数にする整数の問題 (東大理科)
素数に関する問題
0条件を満たす素数を求める問題 (京大理系)
2以外の素数は奇数と3の剰余類を利用する問題 (一橋大)
整数nとの最大公約数が1の整数の個数の問題 (一橋大)
3のn乗の整数数列の問題 (東大文科)
素数を表す式の問題 (京大文理共通)
数式の割り算の問題
「隣り合う整数は互いに素」で証明する割り算の問題 (京大文系)
数列を使って証明する割り算の問題 (京大理系)
数式の割り算の問題 (2019年京大文系)
3次式が2次式で割り切れる難問 (京大文系)

第3章 数Ⅱ
[高次方程式]
3次方程式を決定する問題 (京大文系)
4次方程式の複素数解の問題 (東工大)
[三角関数]
三角関数と無理数の応用問題 (横浜市大/医)
角度不明で解く三角関数の問題 (慶應大/医)
tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題 (京大文系)
三角関数多項式の最小値の問題 (東大理科)
tan加法定理を利用する図形問題 (東大文科)
[対数関数]
対数式の最大最小の問題 (一橋大)
対数不等式の問題 (京大理系)
対数の桁数の最高位の数字の問題 (横浜市大/医)
大きな数の桁数の上から2桁の数字の問題 (2019年京大文系)
対数の桁数の最高位の数字の問題 (横浜市大/医)
[図形と方程式]
放物線に関する問題
2つの放物線の共通接線の問題 (東大理科 )
放物線と放物線に中心がある円上の点の距離の問題 (東工大)
放物線・双曲線に関わる定長問題 (東大文科)
三角形・四角形に関する問題軌跡と領域の問題
三角形の面積を最大化する問題 (一橋大)
軌跡と領域の問題
放物線上の二等辺三角形の重心の軌跡の問題 (東大文科)
平行四辺形の面積を最大化する問題 (一橋大)
2つの円に接する円の中心の軌跡と三角形の面積の問題 (2019年一橋大)
直線・曲線の通過領域の問題
放物線の通過領域の問題 (東大理科)
線分の通過領域を求める問題 (東大文科)
線型・非線形計画法の問題
三角関数と線型計画法をくみあわせた問題 (2019年阪大文系)
格子点上の非線型計画法の問題 (慈恵医大)
[文系微積分]
2次関数の微積分
2つの放物線が囲む領域の面積比の問題 (東大文科)
放物線と1次関数が囲む面積の問題 (京大文系)
2次関数と接線・x軸・直線が囲む面積の問題 (一橋大)
2つの放物線が囲む領域の面積の問題 (東大文科)
絶対値記号付き2次関数と2次関数が囲む領域の面積の問題 (京大文系)
円と放物線が囲む面積の問題 (京大文系)
放物線の接線と半円が囲む領域の面積の問題 (一橋大)
2つの放物線が囲む領域の面積の問題 (東大文科)
3次関数の微積分
3次関数の最大値の問題 (阪大文系)
2次関数と3次関数が囲む面積の問題 (一橋大)
3次関数の振る舞いに関する問題 (東大文理共通)
3次関数と接線が囲む面積の問題 (2019年一橋大)
球面内接四角錐の体積の最大値を求める問題 (2019年京大文理共通)
3次関数を利用する線分の長さの問題 (京大文系)
正方形の中の線分比の最大値・最小値の問題 (2019年東大文理共通)
3次関数と接線が囲む面積の問題 (京大文系)
3次関数と円が囲む面積の問題 (京大文系)
3次関数と直線が囲む面積の最小値の問題 (東工大)
絶対値記号付き3次関数の最小値の問題 (一橋大)
3次の対称式の値域を調べる問題 (京大文系)
4次関数の微積分
4次関数と2次関数が囲む領域の面積の問題 (京大文系)
4次関数の最大値・最小値の問題 (慶應大/環境情報)
3次・4次関数の対称性の問題 (名古屋大/理学部後期)
4次関数の係数決定の問題 (順天堂大/医)

第4章 数B
[数列問題]
自然数と三角関数の数列の問題 (一橋大)
自然数の2乗と2のべき乗の積和の問題 (横浜市大/医)
自然数列の問題 (東大文科)
小数部分の数列の問題 (東大文科)
[漸化式]
漸化式と桁数の問題 (京大文系)
誘導のない3項間漸化式の問題 (慶應大/医)
特性値では解けない3項間漸化式の問題 (一橋大)
3項間分数漸化式の問題 (昭和大/医)
一般形の2項間分数漸化式の問題 (東北大後期)
nを含む逆数型漸化式を未定係数法で解く問題 (横浜市大/医)
多項式型の3項間漸化式の問題 (横浜市大/医)
3項間漸化式の問題 (東大理科)
[確率漸化式]
ゲーム確率
硬貨を投げる連立確率漸化式の問題 (一橋大)
文字を並べる確率漸化式の問題 (東大文科)
2つの確率漸化式で解く問題 (慶應大/理工)
格子点上を移動する確率
確率漸化式を作って解く数直線上の移動の問題 (一橋大)
3つの確率漸化式で解く格子点上の移動の問題 (京大理系)
その他の確率漸化式
連立確率漸化式を作って解く問題 (京大理系)
[平面ベクトル]
ベクトル方程式を複数回利用する問題 (京大文系)
ベクトルの内積で定義した図形の問題 (昭和大/医)
ベクトルの内分点の通過領域の問題 (東大文科)
直角三角形内の点の位置の問題 (東大理科)
ベクトルの大きさの比の値域の問題 (一橋大)
ベクトル間の角度の問題 (東大文科)
[平面ベクトルと軌跡・領域]
ベクトルで記述した軌跡の問題 (2019年一橋大)
ベクトルで記述した領域の問題 (2019年東大文科)
ベクトルの軌跡・領域と面積の問題 (東大文科)
ベクトル和の終点の不変性を示す問題 (2019年東大文科)
[空間ベクトル]
四面体の問題
正四面体内のベクトルの内積の問題 (東工大)
四面体の高さと体積の問題 (慈恵医大)
正四面体のベクトル問題 (慈恵医大)
合同三角形で構成される四面体の問題 (慶應大/理工)
正四面体の証明問題 (京大文系)
四面体の体積二等分平面の問題 (京大文理共通)
四面体以外の問題
ねじれの位置にある2直線上の正三角形の問題 (京大文系)
ねじれの位置にある空間ベクトルの垂線の問題 (一橋大)
直線方程式とベクトルの内積の問題 (京大文系)
空間ベクトルを使って領域を示す問題 (京大文科)
ベクトルの内積で定義した球の問題 (一橋大)
空間ベクトルと基本対称式の問題 (慈恵医大)
斜めにおいた立方体の問題 (慶應大/理工)