[6] 約数の数と合計の問題

約数の問題は大きく分けて「個数や総和の計算問題」、「その他の約数の問題」と「完全数の問題」に分類されます。

●約数の個数や総和の問題
次に示す個数や総和の公式は入試には必須です。逆に考えれば、これらの公式さえ使いこなせれば、約数の問題は非常にやさしいということになります。

[例題]
[A]約数の総和の計算問題（2017年東海大／医113）

[入試問題]

[A]約数の個数と総和の問題（2024年北大文系1）

[B]約数の個数の最大値の問題（2006年東京理科大／理工1）

[B]約数の積を求める問題（2011年早大／商12）

[B]整数解と約数の個数の問題（2012年一橋大1）

[B]因数２の個数を比較する問題（2015年東大理科5）

[B]自然数の正の約数の個数の問題（2019年横浜市大／医11）

[C]正2016角形の頂点で構成される正多角形の数の問題（2019年早大／商13）

[C]約数の数から整数を求める問題（2008年早大／商13）

[C]約数の数などから整数を求める問題（2017年東工大1）

[C]剰余類と約数の総和の応用問題（2010年広島大／理系5）

[D]約数の個数の難問（2018年横浜市大／医3）

[参考問題]
[D]約数の総和についての証明問題（2002年九大理系2）


■完全数、不足数、過剰数、友愛数の問題
これらの数は、「博士の愛した数式」という書籍で紹介されている「特別な整数」なのですが、実は入試にもよく出題されています。初めて見るとそれらの問題はかなり難問に見えるので、その内容をここで紹介します（詳細は、弊著「数学再入門」ご参照ください）。

●完全数、過剰数、不足数とは何か
完全数、過剰数、不足数は次のように定義されます。
自分自身を除いた約数の合計が、
○自分自身と等しい自然数： 完全数
○自分自身より大きい自然数 ： 過剰数
○自分自身より小さい自然数 ： 不足数
実例を右に示します。完全数nとその約数の合計s(n)の関係は「s(n)-n=n」または「s(n)=2n」のように記述されます。
●100までの自然数の分類
100までの自然数を分類すると、次のようになります。完全数にはものすごい希少価値があることがわかります。
○過剰数： 22個（約数の和の最大値は96の約数の和の１５６）
○完全数： ２個（６と28のみ）
○不足数： 76個（そのうち素数は25個）

●完全数とメルセンヌ素数
完全数は2014年時点で48個が見つかっており、これらはすべて偶数であり、末尾はすべて６か８です。これらの完全数は「メルセンヌ素数」と呼ばれる、素数をｐとして「 (2^p)－１」で表される「特別な素数」と１対１に対応しています。つまり、メルセンヌ素数に対応する数は完全数であり、全ての偶数の完全数がメルセンヌ素数に対応しています。
「偶数の完全数が無数に存在するか」「奇数の完全数は存在するか」「末尾が6か8以外の完全数は存在するか」という問題は未解決だそうです。

●友愛数は２つの自然数の組
完全数などは１つの自然数の話ですが、友愛数（親和数）は「自分自身を除いた約数の合計」が、互いに相手と等しい「２つの自然数の組」です。一番小さな友愛数の組は（220、284）です。これは完全数２つ分以上の希少価値があります。友愛数の他に「婚約数」（準友愛数）というものもあり、これは「１と自分自身を除いた約数の合計」が、互いに相手と等しい２つの自然数の組です。一番小さな婚約数の組は（48、75）です。

[入試問題]
[B]完全数についての計算・証明問題（2000年佐賀大後期2）

[C]完全数の類題（2016年東京医科歯科大1）

[D]完全数についての証明問題（2007年千葉大後期）

他に、1986年群馬大、2017年佐賀大などに出題があります。