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完全対策 N0.6 空間図形問題の極意

はじめに
受験生を指導するたびに感じることは、ほとんどの生徒が空間図形問題を苦手にしていることです。遠因は、中学から空間図形問題が苦手であったことによりますが、それが高校に入って、次のようにバラバラに少しずついろいろなことを学ぶため、どんな問題にどのツールを使ったらいいのか戸惑う上に、ときどき平面幾何の知識まで要求されるからです。

  • ○中高:空間幾何、多面体
  • ○数A:図形と計量(空間図形)
  • ○数Ⅱ:図形と方程式(空間図形)、三角関数
  • ○数B:空間ベクトル
  • ○数Ⅲ:複素数平面による回転、立体積分・回転体積分

書き始めてわかったことがあります。空間図形、特に正多面体は正式に数Aの分野に組み込まれたのですが、教科書にも参考書にも解説が少なく、授業でも多分かなりいい加減に済まされてしまっているのでしょう。しかし、意外と医大・難関大の試験には出題されています。本書では、思いつく限りの種類の空間図形問題を収録しました。
特に体積積分問題に難問が多いと思います。本書では、姉妹書{完全対策 微積分応用問題2017年版」から、空間認識が難しい問題を選んで収録しました。文系の方でも、積分計算の前までなら、空間図形問題として十分参考になると思います。
また、新しく学んだベクトルに飛びつく傾向がありますが、ベクトルが最善のツールというわけではないことに注意してください。ベクトルが、かならずしも便利なわけではなく、たとえば等稜角錐の場合にはベクトルを使わない方がはるかに簡単、ということを知らなければなりません。あくまで適材適所です。本書では、「どんな問題にどんなツールを使うべきか」を詳細に解説しています。
まだ高校2年生の諸兄には、時間があるうちに、高校受験用の「解法のエッセンス 立体図形編」(東京出版刊)の斜め読みをお勧めします。「空間図形問題って、こんなに難しかったんだ!」「空間図形問題を解くためには、こんなことも知らなければならなかったんだ!」ということが実感できると思います。本書でも「大学入試レベルの中高入試問題」を数題収録しています。
●本書に掲載した問題
本書では、次の5つの章に分けて空間図形問題を掲載しています。
●第1章 多面体問題
正多面体の決定から、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体に関するほぼすべての種類の問題を収録しました。問題ごとに、余弦定理やベクトルのどちらを使った方がよいのか、あるいは両方の解法を収録しています。
●第2章 空間図形の総合問題
四角錘、多角錘、立方体・直方体・四面体の断面の問題、4つの合同三角形が構成する四面体の問題を収録しました。第1章の内容がわかっていれば、解けるはずの問題群です。
●第3章 空間における平面と直線の問題
空間における平面・直線・角柱の問題を収録しました。この分野では、ベクトルや図形と方程式のツールを色々利用します。特に、空間における直線の問題は、空間認識とさまざまなツールを組み合わせて解く問題ばかりで、かなりの難問が多いと思います。
●第4章 空間における球や円の問題
この分野の問題は、一橋大の問題など、かなり難しい問題ばかりであり、十分なトレーニングが必要だと思います
●第5章 空間認識が難しい体積積分問題
体積積分問題は理系問題であるとは限りません。特に京大文系では、かなり難しい問題が出題されていますし、積分関数が多項式である問題は文系の範囲に含まれるものです。文系諸君にとってもも「断面図系の把握」までは十分トレーニングになる問題ばかりです。理系諸君は、この分野が苦手だと思ったら完全対策 微積分応用問題2017年版」を学んでください。本書よりはもっと体系的に解説しています。
本書により、受験生諸君が大きな武器を手にされることを祈願します。
2017年9月
著者

目次
第1章 多面体問題
1.1 正多面体の決定
●多面体はいくつあるのか
《基本例題1.1.1》(正多面体決定問題) 新作問題
《基本例題1.1.2》(オイラーの多面体定理に関する整数問題) 阪大理系
1.2 正四面体の高さ・体積と内外接円の半径の基本問題
《基本例題1.2.1》(正四面体の内接球・外接球の半径や体積の問題) 新作問題
1.3 四面体の高さや体積などに関する入試問題
《基本例題1.3.1》(展開図から正四面体の体積を求める問題) 北大文系
《入試問題1.3.1》(難易度B) 日大/医
《入試問題1.3.2》(難易度B) 広島工大
《入試問題1.3.3》(難易度B) 京大文系
《入試問題1.3.4》(難易度B) 東北大文理共通
《入試問題1.3.5》(難易度C) 東工大
《入試問題1.3.6》(難易度D) 近畿大
《入試問題1.3.7》(難易度D) 慶応大/理工
1.4 四面体に関するその他の入試問題
《入試問題1.4.1》(難易度C) 北大文理共通
《入試問題1.4.2》(難易度B) 慶應大/総合政策
《入試問題1.4.3》(難易度C) 京大理系
《入試問題1.4.4》(難易度C) 慈恵医大/医
《入試問題1.4.5》(難易度C) 東大文理共通
1.5 正多面体に関する基本問題
●正多面体に関する計算問題
●正八面体に関する計算問題
《基本例題1.5.1》(正八面体の高さ・体積や内外接球の半径の問題) 新作問題
●正十二面体に関する計算問題
《基本例題1.5.2》(正五角形の面積の問題) 新作問題
《基本例題1.5.3》(正五角形の面積を求める問題) 大阪市大理系後期
《基本例題1.5.4》(正12面体の高さ・体積や内外接球の半径の問題) 新作問題
●正二十面体に関する計算問題
《基本例題1.5.5》(正20面体の高さ・体積や内外接球の半径の問題) 新作問題
1.6 立方体に関する入試問題
《入試問題1.6.1》(難易度C) 慶應大/理工
《入試問題1.6.2》(難易度C) 青山学院大/理工
《入試問題1.6.3》(難易度C) 京大文理共通
1.7 正八面体に関する入試問題
《入試問題1.7.1》(難易度B) 山形大
《入試問題1.7.2》(難易度C) 京大理系
《入試問題1.9.2》(難易度D) 東大文理共通
1.8 正十二面体に関する入試問題
《基本例題1.8.1》(正十二面体内の角度と体積の問題) 開成高
《入試問題1.8.1》(難易度B) 福井大理系
1.9 正二十面体に関する入試問題
《基本例題1.9.1》(正十二面体内の角度と体積の問題) 筑波大付属駒場高
《入試問題1.9.1》(難易度D) 東大理科

第2章 空間図形の総合問題
2.1 四角錘の問題
《基本例題2.1.1》(正十二面体内の角度と体積の問題) 筑波大附属駒場中
《入試問題2.1.1》(難易度B) 千葉大教育
《入試問題2.1.2》(難易度B) 宮崎大/工
《入試問題2.1.3》(難易度C) 京大文系
《入試問題2.1.4》(難易度D) 慶應大/経済
2.2 四角錘以外の多角錘の問題
《入試問題2.2.1》(難易度B) 一橋大後期
《入試問題2.1.2》(難易度B) 宮崎大/工
2.3 立方体・直方体の断面の問題
《基本例題2.3.1》(断面の推測と体積の計算) 高校入試新作問題
《基本例題2.3.2》(立方体の断面の形状) 高校入試新作問題
《基本例題2.3.3》(立方体の断面の形状) 慶應志木高
《入試問題2.3.1》(難易度C) 慶應大/環境情報
2.4 四面体の断面の問題
《入試問題2.4.1》(難易度C) 慶応大/理工
《入試問題2.4.2》(難易度C) 慶應大/商
《入試問題2.4.3》(難易度C) 青山学院/理工
《入試問題2.4.4》(難易度D) 慶應大/医
2.5 4つの合同三角形が構成する四面体の問題
《入試問題2.5.1》(難易度C) 早稲田/教育
《入試問題2.5.2》(難易度C) 慶應大/理工
《入試問題2.5.3》(難易度C) 東京医歯大

第3章 空間における平面と直線の問題
3.1 空間における平面の問題
《基本例題3.1.1》(空間における平面についての基礎問題) 慶応大/医
《入試問題3.1.2》(難易度C) 一橋大
《入試問題3.1.3》(難易度C) 日医大
3.2 空間における直線の問題
《基本例題3.2.1》(空間における直線に直交する直線の交点の問題) 昭和大/医
《入試問題3.2.1》(難易度C) 順天堂大
《入試問題3.2.2》(難易度C) 京大文系
《入試問題3.2.3》(難易度C) 京大文系
《入試問題3.2.4》(難易度D) 一橋大
《入試問題3.2.5》(難易度C) 獨協医大3
3.3 角柱の問題
《入試問題3.3.1》(難易度C) 東大理科
《入試問題3.3.2》(難易度C) 東工大
《入試問題3.3.3》(難易度C) 大阪市大/経済

第4章 空間における球と円の問題
4.1 球や円柱などの空間図形の問題
《入試問題4.1.1》(難易度C) 東工大
《入試問題4.1.2》(難易度C) 横浜市大/医
《入試問題4.1.3》(難易度C) 九大理系
《入試問題4.1.4》(難易度C) 阪大理系
《入試問題4.1.5》(難易度C) 一橋大
《入試問題4.1.6》(難易度B) 東京女子医大
《入試問題4.1.7》(難易度C) 一橋大
4.2 空間図形の射影や展開図の問題
《入試問題4.2.1》(難易度C) 早稲田大/理工
《入試問題4.2.2》(難易度C) 東大理科
《入試問題4.2.3》(難易度C) 東大理科
4.3 空間図形問題の難問群
《入試問題4.3.1》(難易度D) 一橋大
《入試問題4.3.2》(難易度D) 慈恵医大
《入試問題4.3.3》(難易度D) 京大文系
《入試問題4.3.4》(難易度D) 東京医歯大

第5章 空間認識が難しい体積積分問題
5.1 回転体の回転体の体積の問題
《入試問題5.1.1》(難易度C) 東大理科
《入試問題5.1.2》(難易度D) 阪大理系
5.2 ねじれた線分を回転させる回転体積分の問題
《入試問題5.2.1》(難易度C) 東大理科
《入試問題5.2.2》(難易度C) 慈恵医大
5.3 xy平面上の傾いた直線のまわりの回転体の問題
《基本例題5.3.1》(2次関数をy=xの周りに回転した体積の問題) 新作問題
《入試問題5.3.1》(難易度C) 順天堂大/医
5.4 公差立体の積分(断面積分)
《基本例題5.4.1》(直円柱が交差した共通部分の体積の問題) 新作問題
《入試問題5.4.1》(難易度C) 阪大理系
《入試問題5.4.2》(難易度D) 東工大
《入試問題5.4.3》(難易度D) 慈恵医大
《入試問題5.4.4》(難易度D) 阪大理系