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●2019年制作 横浜市大/医の数学入試問題の解説書(2011年-2019年)

●横浜市大/医の入試問題の傾向
この大学の場合は、他の大学の場合に比べて、出題される問題の個性が強いと思います。一時は「対称式」「二項係数」「高次導関数」が重視されていましたが、これは最近は薄れています。他に三項間漸化式やテーラー展開、弧長積分などが出題される傾向があります。

はじめに
本書は、横浜市立大学医学部を受験される諸兄のために、直近9年分の数学問題を解き、分野別に整理し直し、できるだけ難易度順に配列し、基礎問題や発展問題を追加して整理し直した、最強の参考書として編集したものです。
特に次の事項に関しては高校数学の教科書にはあつかいがないか少なく、同学の入試の準備には必須の事項なので、[解題]や[補足]で解説してあります。
●対称式と交代式
●二重根号を外すことができない無理数
●チェビシェフの多項式
●イェンゼンの不等式
●テーラー展開とマクローリン展開
●体積積分の分類
問題の解法には色々種類がありますが、主として、試験場で思いついて書くことができる、泥臭い解法を書きました。その上で複数の解法が考えられる場合には、すべての解法を書きました。本書における記述方針と、難易度・新奇度・計算量の評価の基準は次項に示しました。
また、穴埋め式の問題では、読むだけではどんな問題か把握しにくいので、本書ではこれを記述式の問題に書き直して、斜め読みでも題意が把握できるようにしてあります(「改題」と表記してあります)。
●入試問題の出題範囲と傾向分析
横浜市立大学医学部で出題された問題には、顕著な傾向があります。確かに出題範囲には大きな偏りがあるのですが、かといって今後出題がないとは言い切れないのが困ってしまうところです。
したがって、類題・三項問題として、慶応大学、順天堂大学の医学部および慈恵医大や、慶應大学の理工学部、環境情報学部、その他の大学で出題された「普通」レベルの問題や「やや難問」を追加しました。
○数Ⅰ: 2014年までは、対称式の出題数が非常に多い。
図形と計量だけに関する問題は出題されていない。
データの分析の問題が2016年に初めて出題された。
○数A: 場合の数単独の出題はなく、確率問題として出題される。
確率問題は毎年出題され、極限や区分求積法との融合問題が出題される。
単独確率漸化式は出題されているが、連立確率漸化式の出題はまだない。
整数問題はそう難しくなく、ユークリッドの互除法の問題が定番。
平面幾何の問題は図形と方程式を組み合わせて出題される。
○数Ⅱ: 2013年までは、二項係数に関する問題が非常に多く出題された。
二項係数に数Ⅲの高次微分方程式を絡めた問題も多く出題された。
半端な角度・不明の角度に関する問題がほぼ毎年出題されている。
図形と方程式の問題は少なく、ベクトル問題が出題される。
文系微積分の出題があまりに少なく、多くは数Ⅲ微積分問題。
○数B: 数列と漸化式の問題が多く出題される。
漸化式では三項間漸化式の問題が多く、多項式型の問題も出題された。
特に、未定係数法を必要とする問題の出題頻度が高い。
平面ベクトル問題は出題されず、空間ベクトル問題が出題される。
○数Ⅲ: 2次曲線の出題がありません。
ついに複素数平面の問題の出題が始まりました。
数Ⅲ微分では、テーラー展開の近似式の問題の出題が比較的多い。
体積積分の出題はないが、代わりに弧長積分問題が出題される。
媒介変数表示曲線の出題が比較的多い。
本書が、横浜市立大学医学部への合格の一助となれば幸甚です。
2019年4月

目次
第1章 数 Ⅰ
[数と式]
基本対称式の問題 (横浜市大/医)
対称式の因数分解の問題 (横浜市大/医)
基本対称式の問題 (横浜市大/医)
  [補足]対称式と交代式
対称式の値から対称式の値を求める問題 (慶應大/総合政策)
対称式の値から対称式の値を求める問題 (早稲田大/商)
無理式の方程式を解く問題 (横浜市大/医)
2次関数の係数を決定する問題 (2019年横浜市大/医)
[図形と計量]
三角形の面積の問題 (横浜市大/医)
正弦定理・余弦定理を組み合わせる問題 (自治医大)
三角形の重心を内積で調べる問題 (順天堂大/医)
方程式か余弦定理で解く問題 (慶応大/政策)
[データの分析]
偏差値を計算するやさしい問題 (横浜市大/医)
データ分析の問題 (慶應大/経済)
データ分析のやさしい問題 (山梨大/医11)

第2章 数A
[場合の数]
公式が使えない難しい問題 (順天堂大/医)
[確率]
3つの文字表示の確率問題 (横浜市大/医)
4個のボールを入れ替える回数の期待値の問題 (横浜市大/医)
反復試行確率のやさしい問題 (横浜市大/医)
ゲームの勝率と区分求積法の融合問題 (横浜市大/医)
確率の和と区分求積法の融合問題 (慶應大/理工)
3項間漸化式を作って解く問題 (横浜市大/医)
3項間漸化式を作って解く問題 (慶應大/理工)
連立確率漸化式を作って解く問題 (阪大理系)
[整数問題]
自然数の正の約数の個数の問題 (2019年横浜市大/医)
約数の数から整数を求める問題 (早大/商)
約数の積を求める問題 (早大/商)
ユークリッドの互除法を使って解く問題 (慶応大/環境)
ユークリッドの互除法を使って解く問題 (慶応大/医)
既約分数の問題 (横浜市大/医)
素数の組を求める問題 (横浜市大/医)
整数不定方程式の問題 (横浜市大/医)
整数分数不等式と3次方程式の解の融合問題 (2019年横浜市大/医)
約数の個数の難問 (横浜市大/医)
[幾何の問題]
初等幾何の問題 (横浜市大/医)
円対称の問題 (横浜市大/医)

第3章 数Ⅱ
[二項係数の応用問題]
二項係数に関する問題群…その1 (複数大学)
二項係数に関する問題群…その2 (複数大学)
二項係数と高次導関数の問題…その1 (横浜市大/医)
二項係数と高次導関数の問題…その2 (横浜市大/医)
[三角関数]
三角関数と無理数の応用問題 (2019年横浜市大/医)
sin(π/10)の値を二等辺三角形から求める問題 (横浜市大/医)
[補足]二重根号を外すことができない無理数
cos(π/5)を相反方程式を利用して求める問題 (横浜市大/医)
cos(2π/5)をチェビシェフの多項式を利用して求める問題 (横浜市大/医)
  [補足]チェビシェフの多項式
三角関数多項式の最小値の問題 (東大理科)
角度不明で解く三角関数の問題 (慶應大/医)
三角不等式を2次不等式で解く問題 (慈恵医大)
三角関数の級数の問題 (横浜市大/医)
[対数関数]
対数の桁数の最高位の数字の問題 (横浜市大/医)
大きな数の桁数の上から2桁の数字の問題 (京大文系)
[図形と方程式]
三角形の内心を求める問題 (横浜市大/医)
放物線の2つの接線・法線の交点の軌跡の問題 (慶応大/医)
[文系微積分]
放物線と円が接するときの放物線の面積の問題 (横浜市大/医)
4次関数の極小値の問題 (横浜市大/医)
新定義関数の積分の問題 (慶応大/環境)
新記号による文系積分の問題 (東京医歯大)
[空間図形と微分]
合同三角形がつくる四面体の体積の問題 (慶応大/政策)
直方体の断面積と角錐の体積の問題 (慶応大/環境)

第4章 数B
[数列]
自然数の2乗と2のべき乗の積和の問題 (横浜市大/医)
直線による平面分割の問題 (2019年横浜市大/医)
データ分析を題材とする数列の計算問題 (横浜市大/医)
格子点の数の極限の問題 (慈恵医大)
群数列の問題 (横浜市大/医)
群数列の問題 (北見工大)
[漸化式]
nを含む逆数型漸化式を未定係数法で解く問題 (2019年横浜市大/医)
多項式型の3項間漸化式の問題 (横浜市大/医)
多項式型漸化式の部分和混在型の問題 (大阪府立大)
[空間ベクトル]
空間ベクトルの内積のやさしい問題…その1 (横浜市大/医)
空間ベクトルの内積のやさしい問題…その1 (横浜市大/医)
四面体の高さと体積の問題 (慈恵医大)
正四面体のベクトル問題 (慈恵医大)
四面体の外接球の半径の問題 (横浜市大/医)
合同三角形が構成する四面体の問題 (慶応大/理工)

第5章 数Ⅲ
[複素数平面]
複素数・三角関数を使って3次方程式を解く問題 (横浜市大/医)
複素数平面上の7乗根の問題 (日本医科大)
複素数平面上の鋭角三角形の問題 (東大理科)
複素数平面上の距離の問題 (慈恵医大12)
立方体の対角線の周りの回転の問題 (青山学院大/理工)
[数Ⅲ微分]
sin関数の法線でつくる三角形の面積の問題 (横浜市大/医)
導関数の最大値の問題 (横浜市大/医)
三角関数を含む関数の最大値の問題 (横浜市大/医)
導関数=0の解不明で最大値を求める問題 (京大/理系)
凸関数の不等式を証明する問題 (横浜市大/医)
  [解題]イェンゼンの不等式
直方体の中の四面体の体積・面積の問題 (東京医歯大)
[テーラー展開と近似式]
対数関数のテーラー展開の問題 (横浜市大/医)
  [補足]テーラー展開とマクローリン展開
近似式の計算と証明 (横浜市大/医)
平方根の近似計算の問題 (順天堂大/医)
[数Ⅲ積分]
三角関数の合成と置換積分の問題 (横浜市大/医)
三角関数の置換積分の問題 (横浜市大/医)
分数関数の不定積分の問題 (横浜市大/医)
三角関数の分数関数の積分の問題 (2019年横浜市大/医) [C/B/C]
不定積分の級数表示を計算する問題 (横浜市大/医)
絶対値記号付き指数関数積分の問題 (慶応大/医)
1/(cosx)3の定積分を計算する問題 (横浜市大/医)
三角関数の逆関数を利用する積分の問題 (横浜市大/医)
[体積積分・弧長積分]
球と立方体がはさむ立体の体積の問題 (東京医歯大)
  [補足] 体積積分の分類
平行四辺形の回転体の体積を得る問題 (慈恵医大)
放物線の弧長積分の問題 (横浜市大/医)
[微積分の応用問題]
微分方程式と指数・対数の問題 (横浜市大/医)
微分方程式の問題 (横浜市大/医)
[媒介変数表示曲線]
デカルトの葉が囲む面積の問題 (横浜市大/医)
カージオイドの弧長積分の問題 (岡山大/理系)
極方程式が囲む面積を求める問題 (横浜市大/医)
媒介変数表示曲線の回転体の体積の問題 (東京医歯大)
アステロイド曲線が囲む面積の問題 (慶応大/理工)
サイクロイド類似曲線が囲む面積の問題 (慈恵医大)
sin関数の法線でつくる三角形の面積の問題 (横浜市大/医)
導関数の最大値の問題 (横浜市大/医)
三角関数を含む関数の最大値の問題 (横浜市大/医)
導関数=0の解不明で最大値を求める問題 (京大/理系)
凸関数の不等式を証明する問題 (横浜市大/医)
直方体の中の四面体の体積・面積の問題 (東京医歯大)
  [テーラー展開と近似式]
対数関数のテーラー展開の問題 (横浜市大/医)
近似式の計算と証明 (横浜市大/医)
平方根の近似計算の問題 (順天堂大/医)
[数Ⅲ積分]
三角関数の合成と置換積分の問題 (横浜市大/医)
三角関数の置換積分の問題 (横浜市大/医)
分数関数の不定積分の問題 (横浜市大/医)
不定積分の級数表示を計算する問題 (横浜市大/医)
絶対値記号付き指数関数積分の問題 (慶応大/医)
1/(cosx)^3の定積分を計算する問題 (横浜市大/医)
三角関数の逆関数を利用する積分の問題 (横浜市大/医)
[体積積分・弧長積分]
球と立方体がはさむ立体の体積の問題 (東京医歯大)
平行四辺形の回転体の体積を得る問題 (慈恵医大)
放物線の弧長積分の問題 (横浜市大/医)
[微積分の応用問題]
微分方程式と指数・対数の問題 (横浜市大/医)
微分方程式の問題 (横浜市大/医)
[媒介変数表示曲線]
デカルトの葉が囲む面積の問題 (横浜市大/医)
カージオイドの弧長の計算問題 (岡山大/理系)
カージオイドの弧長積分の問題 (東海大/医)
極方程式が囲む面積を求める問題 (横浜市大/医)
媒介変数表示曲線の回転体の体積の問題 (東京医歯大)
アステロイド曲線が囲む面積の問題 (慶応大/理工)
サイクロイド類似曲線が囲む面積の問題 (慈恵医大)