●2019年版 京大文理の数学入試問題の解説書（2015年-2019年）

はじめに
●京大の数学
本書は、京大の理系・文系で出題された、直近５年分の数学入試問題を分野別に整理し、難易度順に配列し直して、さらに類題や基礎問題、応用問題などを加えた、この1冊を学習すれば合格に近づける、最強の参考書です。
問題は、直近５年分で十分であり、あまり古い問題は、出題傾向が現在と異なるので解く必要はないのですが、古い問題でも重要な問題は追加してあります。特に、立方体を対角線の周りに回転した体積の問題（2010年京大文理共通）は、理系でも難しい問題が文系で出題された例です。こんな問題がこんな問題が出題されることから、予備校では巨大文系受験生は数Ⅲが必修だそうです。
また、複素数平面は方程式に関連して、２次曲線は図形と方程式に関連して、これらを理解している方が文系数学を解きやすいことがあります。したがって弊サイトでは、京大に関しては、文系・理系を合本しています。
これはまた、理系受験生にもメリットがあります。理系問題の基礎問題が文系問題であることもあれば、文系問題に手を加えて理系に出題されることも多いからです。
●著作方針
問題の解法には色々種類がありますが、主として、試験場で思いついて書くことができる、泥臭い解法を書きました。図版満載の上、計算過程もできるだけ端折らずに書いているので、読みやすいでしょう。その上で複数の解法が考えられる場合には、すべての解法を書きました。特に次の2つの事項に関しては、詳しい解説を加えてあります。
○２次曲線の分類
○体積積分の分類
●京大入試問題の傾向分析
東大理科の基本的な傾向は、次の諸点です。
○ 証明問題が多い。
○ 文系では常用対数問題がほぼ毎年出題される。
○ 文理共通で、空間ベクトルを使った証明問題がほぼ毎年出題される。
○ Bレベル問題も出る。
○ 理系の数Ⅲは、東大ほどには難しくない
○ 整数問題・確率問題は一般的に難問が多い。
驚くことに京大でも、「場合の数（単独）」「ユークリッドの互除法の問題」「2次曲線」「媒介変数表示曲線問題」は直近過去5年出題がありません。しかし油断大敵です。これらの分野も準備は必須です。良問を選んで予想問題として追加しました。
［数Ⅰ］
融合問題が多いので、数Ⅰの範囲の問題を探すと、「図形と計量」の問題に限られてしまいます。この分野の問題は、平面幾何・空間幾何の知識と正弦定理・余弦定理およびその他の数学の知識を組み合わせて解く問題群です。中学までの幾何知識は必須です。
［数A］
京大でも他の難関大と同様に、「場合の数」単独の出題はなく、確率の問題として出題されています。確率漸化式の問題は若干難しくなりますが、難関私立医大ほど難しくはありません。
整数問題では、2015年から ユークリッドの互除法の問題が学習指導要領に追加されましたが、京大ではいまだ出題されていません。京大では素数を題材にしたものが多く、東大の整数問題ほどではないものの、やはり若干難しい問題です。
［数Ⅱ］
京大では、割り算や係数決定などの方程式問題が特徴的です。
難関大の三角関数の問題の全国的な特徴は「半端な角度の三角関数」と「正接の加法定理」ですが、京大では三角関数問題さえ整数問題になります。
図形と方程式と文系微積分の問題は、東大と同様に京大でも狙い目です。特に,文系微積分の理系での出題が多いことが特徴的です.そう難しい問題は出題されないので、完答で満点狙いです。新学習指導要領施行以降は、4次関数の出題に対応しなければならないことも要注意です。
［数B］
数列と漸化式の問題では、標準的な難易度のの問題が出題されます。特徴があるのは空間ベクトル問題やこれを使った正面問題が多いことです。なお、平面ベクトルの分野においては、最近の頻出問題に対応して、2019年から［平面ベクトルと軌跡・領域］という新領域を作りました。
［数Ⅲ］
直近過去5年では、複素数平面問題の出題は多めですが、２次曲線問題と媒介変数表示曲線問題の出題がありません。数Ⅲ微積分の分野では、難易度は標準的です。
本書が東大理科合格の一助となれば幸甚です。
2019年5月
著者

目次
1章　数Ⅰ
［２次関数］
２次関数と不等式領域の問題（東大文科）
［図形と計量］
余弦定理を使って解く鋭角三角形の問題（東大文科）
余弦定理と２次方程式を使って解く問題（東大文科）
三角形の内接円の半径の問題（京大理系）
三角形の重心を内積で調べる問題（順天堂大／医）
第2章　数A
［論証の問題］
２次関数と組み合わせた命題と論証の問題（2019年京大文系）
２次関数と不等式領域の問題（東大文科）
［場合の数］
公式が使えない場合の数の難しい問題（順天堂大／医）
［確率問題］
4枚のカードと4つの玉の確率の問題（慈恵医大）
玉を取り出すゲームの問題（慈恵医大）
格子の上を移動する確率の問題（京大文系）
さいころの目の最大・最小の差の確率の問題（京大文系）
袋の球数が増える場合の球の数字の総和の問題（京大文系）
正三角形の辺上の移動確率の問題（東工大）
［確率数列の問題］
格子点上の移動の確率の問題（東大文理共通）
さいころの確率の数列の総和の問題（2019年京大文4理4）
正八角形の頂点上の移動確率の問題（東大文）
［条件付確率の問題］
３色のメダルの条件付き確率の問題（北大理系）
確率数列と条件付き確率の問題（東大文理共通）
［ユークリッドの互除法の問題］
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その1（横浜市大／医）
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その2（慶應大／医）
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その3（慶應大／医）
［整数問題］
３次式を素数とする整数の問題（京大文理共通）
条件を満たす素数を求める問題（京大理系）
格子点上の非線型計画法の問題（慈恵医大）
n進数とべき乗関数の融合問題（京大文系）
整数階乗の割り算の問題（東工大）
奇数の積が整数の2乗にならないことを示す問題（東大理科）
３のn乗の整数数列の問題（東大文科）
第3章　数Ⅱ
［方程式の問題］
● 因数定理と数式の割り算
5次式を3次式で割った数式の割り算の問題（2019年京大文系）
「隣り合う整数は互いに素」で証明する割り算の問題（京大文系）
数列を使って証明する割り算の問題（京大理系）
３次式が２次式で割り切れる難問（京大文理共通）
● 方程式を決定する問題
３次方程式を決定する問題（京大文系）
２次方程式を決定する難問（京大理系）
［三角関数］
三角関数と有理数の問題（2019年京大理系）
tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題（京大文理共通）
三角関数の整数問題（京大文理共通）
円内接台形の辺の長さの比の積の問題（京大理系3）
tan加法定理を利用する図形問題（東大文科）
三角関数多項式の最小値の問題（東大理科）
三角関数と無理数の応用問題（横浜市大／医）
［対数関数］
大きな数の桁数と上から2桁の数字の問題（2019年京大文系）
小数の０でない数が現れる桁の問題（日大／医）
対数と桁数の問題（京大文系）
くじをひく回数の対数問題（京大文理共通）
［図形と方程式］
２つの放物線の共通接線の問題（東大理科 ）
２つの放物線が接するための係数の条件の問題（京大理系）
放物線の通過領域の問題（東大理科）
線分の通過領域を求める問題（東大理科）
［文系微積分］
● ２次関数の微積分
放物線と1次関数が囲む面積の問題（京大文系）
絶対値記号付き２次関数と２次関数が囲む領域の面積の問題（京大文系）
放物線の接線と半円が囲む領域の面積の問題（一橋大2）
● ３次関数の微積分
３次関数と円が囲む面積の問題（京大文系）
球面内接四角錐の体積の最大値を求める問題（2019年京大文理共通）
３次関数と接線が囲む面積の問題（京大文系）
絶対値記号付き３次関数の最小値の問題（一橋大）
３次関数を利用する線分の長さの問題（京大文系）
正方形の中の線分比の最大値・最小値の問題（東大文理共通）
素数と３次関数の融合問題（2019年京大理系）
３次の対称式の値域を調べる問題（京大文系）
● ４次関数の微積分
4次関数と2次関数が囲む領域の面積の問題（京大文系）
4次関数の最大値・最小値の問題（慶應大／環境情報）
3次・4次関数の対称性の問題（名大/理学部後期）
4次関数の係数決定の問題（順天堂大／医）
第4章　数B
［数列］
格子点の数の極限の問題…その１（慈恵医大）
格子点の数の極限の問題…その２（東大理科）
自然数と三角関数の和の数列の問題（一橋大）
自然数の２乗と2のべき乗の積和の問題（横浜市大／医）
［漸化式］
漸化式と桁数の問題（京大文系）
誘導のない３項間漸化式の問題（慶應大／医）
特性値では解けない三項間漸化式の問題（一橋大）
三項間分数漸化式の問題（昭和大／医）
一般形の２項間分数漸化式の問題（東北大後期）
nを含む逆数型漸化式を未定係数法で解く問題（横浜市大／医）
多項式型の三項間漸化式の問題（横浜市大／医）
［確率漸化式］
硬貨を投げるやさしい連立確率漸化式の問題（一橋大）
複素数平面上の移動に関する連立確率漸化式の問題（京大理系）
割り切れる確率の連立漸化式の問題（京大理系）
連立漸化式を作って解く格子上の移動の問題（京大理系）
連立確率漸化式を作って解く問題（京大理系）
［平面ベクトル］
ベクトル方程式を複数回利用する問題（京大文系)
ベクトル方程式と図形・媒介変数曲線の融合問題（2019年京大理系）
直角三角形内の点の位置の問題（東大理科）
ベクトルの大きさの比の値域の問題（一橋大）
ベクトルの内積で定義した図形の問題（昭和大／医）
ベクトルの内分点の通過領域の問題（東大文科）
ベクトル間の角度の問題（東大文科）
［平面ベクトルと軌跡・領域］
ベクトルで記述した軌跡の問題（一橋大）
ベクトルで記述した領域の問題（東大文科）
ベクトルの軌跡・領域と面積の問題（東大文科）
ベクトルの軌跡・領域と面積の問題（東大理科）
［空間ベクトル］
四面体の高さと体積の問題（慈恵医大）
正四面体の外部に直角三角形を構成する問題（慈恵医大）
直線方程式とベクトルの内積の問題（京大文系)
ねじれの位置にある2直線上の正三角形の問題（京大文系3）
空間ベクトルを使って領域を示す問題（京大文科）
［空間ベクトル証明問題］
正四面体の中の正八面体の問題（京大理系）
正四面体の証明問題（京大文系）
四面体の体積二等分平面の問題（京大文理共通）
第5章　数Ⅲ
［複素数平面］
不等式を満たす最小自然数を求める問題（2019年京大理系）
複素数と図形と方程式の融合問題（東大理科）
複素数列と確率の融合問題（阪大理系）
複素数平面上の軌跡の問題（京大理系）
複素数平面上の写像の問題（東大理科）
複素数が鋭角三角形を構成する条件の問題（東大理科）
複素数平面における円弧の問題（東大理科）
複素数平面上の7乗根の問題（日本医科大）
実数係数4次方程式の解に関する問題（東大理科）
［2次曲線］
誘導付きの２次曲線の問題（東大文科）
楕円上のx座標の最大値問題（東大文科）
1次式の積の問題（昭和大／医）
［補足］２次曲線の分類
放物線の準線と焦点の問題（順天堂大／医）
楕円の焦点との距離の問題（日本医科大）
双曲線の回転の問題（獨協医大）
［極限］
指数関数の接点座標の数列の極限値の問題（京大理系）
三角関数とべき乗の方程式の解の極限値の問題（東大理科）
三角関数の極限値の問題（京大理系）
部分積分と極限値計算の難問（東大理科）
［数Ⅲ微分］
三角関数・分数関数の挙動の問題（東大理科)
三角関数・分数関数の挙動の問題（東大理科)
三角関数の角度不明で最大値を求める問題（京大理系）
正四面体内のベクトルのなす角度の問題（京大理系）
空間内の三角形の投影面積の最小値の問題（東大理科）
不等式の証明問題（東大理科）
面積の極限と最大値の問題（慶應大／理工）
［数Ⅲ積分］
定積分の計算問題（2019年京大理系）
分数関数の積の積分の問題（東大理科）
絶対値記号付き指数関数積分の問題（慶應大／医）
指数関数を含む関数が囲む面積を求める問題（慈恵医大）
指数関数を含む関数が囲む面積を求める問題（京大理系）
［体積積分］
● 回転体の断面を積分する問題
三角関数が囲む回転体の体積の問題（京大理系）
［補足］体積積分の分類
双曲線関数の回転体の体積の問題（京大理系）
線分通過領域の体積積分の問題（東大理科）
● 回転軸に対してねじれの位置にある線分の回転体の体積の問題
円錐台の皮の体積の問題（東大理科）
平行四辺形の回転体の体積を得る問題（慈恵医大)
● 空間で傾いた軸のまわりを回転する回転体の体積の問題
立方体を対角線の周りに回転した体積の問題（京大文理共通）
［弧長積分］
対数関数の線分長の極限計算の問題（京大理系5）
［媒介変数表示曲線］
円の端点の接線に対する対称点が描く曲線の問題（東海大／医）
媒介変数表示曲線の速度ベクトルの問題（東工大）
エピサイクロイドのグラフと面積の問題（東工大）