■複素数平面問題

複素数平面が有利なのは次の２点です。

• xy座標を１つの複素数であつかえる（複素数の実部・虚部はxy座標に一致する）
• 回転操作が容易（前指導要領では行列の担当範囲）

複素数平面上の問題は大きく次の７つの分野に分類できます。

• 初級　(1) 複素数平面上の基礎問題
• 　　　(2) 複素数平面上の図形の問題（直線・円・三角形）
• 　　　(3) 複素数平面上の方程式の問題
• 　　　(4) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
• 中級　(5) 複素数平面上の回転の問題
• 　　　(6) 複素数平面上の数列の問題
• 上級　(7) 高次方程式の問題

これらを初級・中級・上級の3頁に分けて解説します。

(1) 複素数平面上の基礎問題
[B]複素数の絶対値を求める問題（2002年一橋大2）

[B]複素数の関数の絶対値の最大値・最小値の問題（2001年一橋大1）

[B]複素数平面上の集合の問題（2017年慶應理工12）

[B]直線と放物線の交点と複素数解の問題（2000年京大理2）

[B]複素数の累乗和の問題（2023年横浜市大／医12）

[C]複素数平面上の解領域の問題（2017年東京理科大／理／応用数学2）

[C]複素数平面上の距離の問題（2016年慈恵医大12）

[C]複素数平面上zの関数|w|の最大値の問題（2005年東大理2）

[C]共役複素数の和の不等式を満たす最小自然数の問題（2019年京大理6）

[D]複素数の素数乗が実数ではないことの証明問題（2000年京大理4）


(2)複素数平面上の図形の問題
複素数は、極形式でもわかるように、大きさと偏角がその二大要素です。大きさの扱いは容易でしょうが、偏角の扱いには慣れが必要です。


●直線の問題
[A]複素平面上の直線の問題（2014年阪大文1）

[B]複素数平面上の直線の問題（2004年京都教育大）


●円の問題
[B]複素数平面上の円上の点の問題（2004年京大理5）

[B]複素数平面における円上の点の偏角の問題（2019年筑波大／医6）

[C]２つの複素数が円上にあることを示す問題（2000年東大文4理2）

[C]複素数平面上の中点の移動領域の問題（2024年京大理2）

[C]複素数の制限を変換して解く問題（2024年阪大理2）


●三角形の問題
[B]複素数平面上の鋭角三角形の問題（2016年東大理4）

[B]複素平面上の三角形の問題（2005年京大文3）

[B]複素平面上で方程式の解と係数が三角形を構成する問題（2004年京大文4）

[C]複素数平面上の三角形の面積の最大値を求める問題（2018年日本医科大4）

[C]複素数平面の正三角形の構成条件の問題（2005年京大理系3）

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題（2017年慈恵医大4）

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題（2016年兵庫県立大／理5）

[C]3つの複素数で正三角形を構成する問題（2017年順天堂大／医13）

[C]複素平面上の直線と正三角形の問題（2004年一橋大3）


(3) 複素数平面上の方程式の問題
[B]３次方程式の解の複素数平面上での幾何の問題（2018年早大／理工1）

[B]３次方程式と直角三角形の問題（2018年東京理科大／理工／情報12）

[B]連立複素数方程式の問題（2022年札幌医大11）

[C]複素数と図形と方程式の融合問題（2018年東大理科5）

[C]複素数平面上の三角形の形状と3次方程式の解の問題（2004年横浜国大／工3）

[C]４次の実数係数方程式の複素数解の問題（2017年東工大5）

[C]実数解を持たない複数の２次方程式の解の配置の問題 （2018年東工大1）

[D]４次の実数係数方程式の複素数解の問題（2019年東大理科6）


(4) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
[B]複素数平面上の円の通過領域の問題（2004年京大後期文4理2）

[B]複素数平面上の写像の問題（2017年東大理科3）

[B]複素数平面上の軌跡の問題（2017年京大理系1）

[C]複素数平面上の写像の問題（2017年早大／理工1）

[C]複素数平面の写像の円の中心と半径を求める問題（2017年千葉大／医9）

[C]複素数平面上の円弧の問題（2003年東大理科2）

[C]複素数平面上の写像と領域の面積の問題（2019年慈恵医大4）

[C]複素数の存在領域の図示の問題（2003年一橋大2）