[11] 有理数・無理数の問題

有理数は整数の分数で表現できる実数、無理数はそれ以外の実数です。数の分類を下表に示します。この種の問題はふつうは倍数などの関係を使って背理法で証明しますが、まれに数学的帰納法で証明する問題もあります。

●無理数の計算問題
[B]無理数の小数部分を抜き出す問題（2017年東海大／医111）


●方程式の有理数解の問題
[B]1以上の有理数の解をもつ３次方程式の係数の問題（2019年早大／商12）

[B]4次方程式の有理数解の問題（2019年筑波大推薦／医3）


●背理法で証明する問題
[B]無理数に関係する証明問題（2015年阪大理系3）

[B]三角関数と有理数の問題（2019年京大理系11）

[B]素数の３乗根の無理数性の問題（2018年早大／理工3）

[C]tan1°が無理数であることを証明する問題（2006年京大後期文5理6）

[C]ネピアの数が無理数であることの証明（有名問題）

[C]三角不等式と無理数の問題（2017年阪大理系3）

[C]自然数の平方根の有理性の問題（2007年京大文5）

[D]背理法を使う難問（2009年京大理系6）

[D]無理数を絡めた素数による割り算の難問（2016年千葉大／医12）


●円周率が無理数であることの証明
「円周率」が無理数であることの証明は非常に難しく、多くの証明では微積分を利用します。
[E]円周率が無理数であることの証明（2003年阪大理系後期）


[参考問題]
[E]円周率は無理数であることの証明（ニーベンの証明による新作問題）

[E]ユークリッドの互除法を背景に持つ既約分数樹形図の難問（2019年阪大理4）