●文系微積分の定積分公式

2次関数、3次関数、4次関数には、次の３つの定積分公式があります。2次関数の場合の公式は「常識」です。積分には正負の符号が付きますが、面積の符号は正であることに要注意です。結果のつじつまが合うように符号を追加する必要があります。
どの場合も、定積分の計算の結果の多項式が、積分区間の端を中心としたべき乗になるので、一方の端で0になるため、計算が簡単になります。

●2次関数の場合
2次関数と直線が交差する2点のx座標をα、β（α<β）として、S=|(β-α)^3/6|
●3次関数の場合
3次関数と接線が交差する点のx座標をα、β（α<β）として、S=(β-α)^4/12
●4次関数の場合
4次関数と二重接線の接点のx座標をα、β（α<β）として、S=|(β-α)^5/30|
これらの公式は、2次関数と直線の方程式を仮定して面積を計算しますが、被積分関数は２次の係数が１の２次関数に過ぎず、その2次関数積分は交点座標だけで得られます。以下にその詳細を示します。

3次関数・4次関数の場合の公式は、そのまま利用しなければならないことはほとんどなく、誘導付きであったりしますが、知っていると便利です。４次関数の場合は、n次関数のなかで初めて「二重接線」が可能になります。この公式も、実際にはあまり利用されず、地道に接線を求める過程が出題されます。
なお、この主題を例題にすると次のようになります。