体積積分の分類
体積積分は、大きく次の８つに分類できます。これらを順に例を挙げて説明していきますが、断面積分は容易に計算できる断面積を積分して体積を計算する問題であり、回転体体積も断面積分の一種であって、断面積を容易とはいえない計算で求めて積分して体積を計算する問題です。
回転体体積は、直線や面や立体を回転させて得られる断面積を積分するわけですが、結果的には直線が描く曲面から断面積を計算します。ここでその直線が回転軸と交点を持つなら円錐の表面のような曲面が得られ、その直線が回転軸と交点を持たない、すなわち「ねじれの位置」にあるならば双曲面が得られます。この計算で大事なことは、回転軸上の積分路を積分変数として、その変数を使って断面積を計算することです。
2010年代後半くらいまでは、この回転体積分の難問が数Ⅲ積分の難問の代表格でしたが、最近は交差立体の積分が難問の代表格になっています。公差立体の積分も断面積分の一種です。たとえば円柱の交差部分ならそう難しくはないのですが、これがたとえば円錐の交差部分となると、かなり面倒な計算になります。
[7]極座標の立体積分は、特に難しい応用を施す問題も出題されないので、面積積分、弧長積分と一緒に解説します。
いずれも断面積を計算して積分します。積分の内容によって数Ⅱと数Ⅲに分かれます。本質的にはそうむずかしくはないのですが、回転する図形や断面の図形を自分で計算しなければならない問題の大半は難問に属します。これらに文系微積分（数Ⅱ）と理系積分（数Ⅲ）の別があります。調べてみて驚きました。体積積分の難問の半分以上は、文系積分の問題です。
