○2次曲線に関する頻出問題
この分野では、3種の２次曲線と媒介変数曲線のうちの極方程式を解説します。その他の媒介変数曲線は微積分の多用が顕著なので、数Ⅲで扱います。2次曲線に関する問題の中での頻出問題は次の３つです。
・焦点との距離の和・差などの曲線の定義に関する問題
・焦点・準線・準円などに関する問題
・曲線に交差する直線の交点の中点の軌跡の問題
これらの問題は各曲線ごとに紹介し、続いて特論を４つ紹介します。
[1] 楕円の問題
[2] 双曲線の問題
[3] 放物線の問題
[4] 2次曲線の値域評価の問題
[5] 2次曲線の通過領域の問題
[6] 2次曲線の回転の問題
[7] 極方程式と２次曲線
■２次曲線
- 楕円： 2つの定点からの距離の和が一定である曲線（離心率e<1）
- 双曲線：2つの定点からの距離の差が一定である曲線（離心率e>1）
- 放物線：焦点と準線からの距離が等しい曲線 （離心率e=1）
楕円の「距離の和」は2a、双曲線の「距離の差」は±2aです。この定義は、x軸との交点の座標を考えると確認できます。放物線では、曲線上の点（x,y）から準線x=-pに下ろした垂線の長さと点（x,y）から焦点（p,0）までの距離が等しい、という性質があります。これから導かれた放物線の形式が「y2=4px」です。入試では、これらの「距離の和・差による定義」を確認する問題が非常に高頻度に出題されます。
2次曲線の公式を定義から導出する方法はマスターしておくべきですが、放物線は右図に示す内容がすべてです。楕円と双曲線の公式の導出は下の例題で示します。
この関係から離心率eを定義すると、e<1は楕円の場合、e>1は双曲線の場合に相当し、続いてe＝1の場合は、放物線に相当します。離心率から2次曲線を定義できます。これは
[7]極方程式と２次曲線
で解説します。