xとyの両方の2次式を含む数式の取りうる値域や、その値域によって生ずるxとyの両方の2次式を含む数式の値域を問う問題があり、そこでは2次曲線がとる地域を扱います。ここでその方策を示しておきます。
2次曲線は、値域の観点から、次のようにも分類できます。
・楕円（x,yともに有限の範囲）
・放物線（x,yのいずれかが有限、他方が無限の半区間）
・双曲線（x,yともに一部が欠けた無限の半区間）
2次曲線に似た格好をした図形として「２直線の積」があります。２つの直線の積（(ax+by+c)(dx+ey+f)=0に因数分解できる場合、x,yともに無限の範囲）
これらは次の一般形にまとめることができます。
つまり、２次の係数を調べれば、どの種の曲線かが判別できます。さらに、2次式の中にxy項があるときは、軸が回転されているということです（次問参照）。
[例題1] [C]楕円上のx座標の最大値問題(2012年東大文科1)
[ヒント]
この問題は数Ⅰか数Ⅱの範囲に属しますが、上のことをわかっていないと、解き初めに躊躇するでしょう。最大値や最小値があるということは、この2次曲線は楕円か放物線しかあり得ません。では何を行うべきか。わかっていながら意識に上がらない大事な事実があります。「座標平面上」にある点の両座標は「実数」です。
[例題2] [B]1次式の積の問題（2017年昭和大／医143）
[ヒント]
本問は、2次曲線らしく見えますが、(x,y)の範囲が制限されていないので、2次曲線ではないのではないか、と推定できます。その場合は、1次式の積になるはずです。
[例題3] [B]2次式の最大・最小の問題（1993年武蔵工大）
本問は、楕円上の座標を偏角を使って表し、これで与式の値を表し、最大値・最小値を計算します。初期位相が本問のπ/6のようにきれいには得られなくとも、計算できます。
これら３題からわかるように、2変数2次式で与えられた条件は、問題に合わせて準備する必要があります。
本分野の入試問題は、他にはありません。