1. 完全対策可能な問題：漸化式
漸化式問題は、数列内の複数の項の関係の記述から数列の一般項などを求める問題です。当初は数列問題の応用問題としての位置づけでしたが、出題頻度が増えるにつれて、数列問題より大きな分野に成長し、次のような要素が組み合わさって複雑化しています。
- 二項間か三項間かあるいは多項間か
- 単独漸化式か連立漸化式か
- 等差数列に帰着できるか階差数列になるか
- 等比数列に帰着できるか特性方程式型になるか
- nの多項式を含むかどうか未定係数法が必要かどうか
- 分数型や逆数型か、さらにnの多項式を含むかどうか
- どんな手法も適用できない数学的帰納法が必要なものか
難関大学では、三項間、連立漸化式であったり、nの多項式を含んだり未定係数法が必要であったりと、一生懸命何問化に努めてきますが、それももうそろそろ限界です。最近は難問は 確率漸化式 に移っており、３つ以上の連立漸化式の問題も増えています。
2. 漸化式問題は10パターン
漸化式のパターン別分類による解説は当サイトが元祖です！
パターン分類は、小手先の技ですが、手っ取り早い方法ではあります。
漸化式には、明らかな等差数列・等比数列と特殊な連立漸化式・数学的帰納法などのパターンを除くと、主要なパターンは下記の10種にまとめられます。これらの問題は、かなり種類が多いので、手間がかかることはかかるのですが、100%対策できます。数列と漸化式の分野をマスターすれば、かならず満点を確保できる分野が出来上がります。入試数学でそんな分野は他にはありません。最近の難問は、確率漸化式 の分野で出題されています。
漸化式の基礎は「等差数列」と「等比数列」であり、これらへの帰着の過程が漸化式の解法です。これらの発展系が「階差数列」や「特性方程式型」であり、これらを経由して「等差数列」と「等比数列」に至ります。
●基本形
●発展形
●組み合わせ形
●３項間形
3. 漸化式の発展問題は5パターン
漸化式と数列の融合問題、漸化式の例外的な問題、そして漸化式の発展的なあるいは応用問題を、５つのパターンにまとめました。
[11]部分和と一般項の混在型
[12]数学的帰納法で解く漸化式
[13]連立漸化式
[14]フィボナッチ数列
[15]漸化式の融合問題