●場合の数と確率
確率には、「とびとびの事象」（離散事象）を対象とする「離散確率」と、正規分布のように連続的に事象が分布する「連続確率」とがあり、前者は数A、後者は数Bに属します。離散確率は、ある事象の起きる確率とは、その事象が起きる「場合の数」の「すべての場合の数」に対する比です。そしてこの場合の数を計算する方法が次の５つの手法です。「場合の数を求めよ」だけの問題は珍しかったのですが、最近増えつつあるので、確率の項と分離させました。
- 順列
- 組合せ
- 重複順列
- 重複組合せ
- 同じものを含む順列
確率では、次のような事象を考えると計算が簡単になります。その場合、事情を表すのに「論理記号」と「集合記号」のいずれを使っても表すことができますが、確率の計算では集合記号を使う方が簡単です。
論理記号 集合記号
- 余事象： 特定の事象が「起こらない」という事象 ¬Ａ Ａバー
- 積事象： 複数の事象が両方起こる事象 Ａ⋀Ｂ Ａ∩Ｂ
- 排反事象： 複数の事象が同時に起こらない事象 Ａ⋀Ｂ Ａ∩Ｂ
- 和事象： 複数の事象のいずれかが起こる事象 Ａ⋁Ｂ Ａ∪Ｂ
もっとも有用なのが「余事象」という考え方です。たとえば「ある数が5で割り切れる」という事象Aに対し、「ある数が5で割り切れない」という事象Aバー(Ā)を「事象Aの余事象」といいます。ある数が「5で割り切れる」ということと「5で割り切れない」ということとは、どちらかが起きて同時には起きない（両立しない）事象であり、このような関係にある事象を「排反事象」とよびます。
排反事象がおきる確率の総和は全事象の確率の和なので１です。
たとえばP(A)を求めたい場合に、P(A)よりもP(Ā)の方が計算が簡単な場合には、P(A)ではなくP(Ā)を計算して1から引けばP(A)が得られます。事象の確率は、場合の数n(A)と確率P(A)のどちらでも記述でき、問題に応じて計算が簡単な方で計算します。
●場合の数