●高次方程式の解と係数の関係
高次方程式の問題では、因数定理を利用してできる限り因数分解するか、因数分解が見込めない場合は解と係数の関係を利用して解きます。例として３次方程式で解説します。
●n次方程式の解法
２次方程式には解の公式があり、３次・４次の方程式にも代数的な解法が存在して必ず解を得ることができますが、５次以上の方程式には代数的な解は存在しないことがわかっています。5次次方程式の一般的な解法はありませんが、はさまざまな方法で解くことができます。n次の最高次の項しかない方程式は、因数分解によって解くことができます。右辺が１の場合の解の概要を下図に示します。右辺が１ではない定数の場合の解は、下に示す解の定数倍です。３次や５次の場合は、三角関数と複素数の「ド・モアブルの定理」を使って解くこともできます。
[例題1][A]４次方程式の奇数次項を消去する問題（2010年横浜市大／医11）
[例題2][C]5次方程式x^5=1を解く問題（新作問題）
右辺が１の方程式は、２次の場合は因数分解で簡単に解け、４次の場合は２次の場合を拡張して解くことができます。３次や５次の場合はまずx=1が解であり、残る偶数個の解は２つずつ互いに共役複素数になります。そのため、三角関数と複素数の「ド・モアブルの定理」を使ってかならず解くことができますが、多項式のままで解くこともでき、これは「相反方程式」と呼ばれます。
三角関数の奇数倍角の公式は、二項定理によって書き下ろすことができます。
■(t+1/t)の問題と相反方程式
入試頻出問題であり、相加平均≧相乗平均からｔ＞0の場合値域はt≧2となります。また(t+1/t)は「相反方程式」にも利用されるものです。３次以上の高次方程式を一般的に解くことは容易ではなく、次のいずれかの問題しか出題されません。ここで相反方程式が登場します。
- 何らかの要因により、容易に因数分解できるもの。
- 複二次式（偶数次しか係数がなく、x2を置換して解くもの）
- 相反方程式（係数が左右対称的なもの）であるもの。
[例題3][B]t+1/tの応用問題（2008年早稲田大／商11）
