●媒介変数表示、極座標と極方程式の関係
- 媒介変数表示曲線とは、xとyを別の文字 （tなど、パラメータ）を用いて x=f(t), y=g(t)のように表す方法です。
- 極座標は媒介変数表示の一種であり、xy座標を動径rと偏角θで表したものが極座標、動径rと偏角θが媒介変数です。
- 極方程式は、曲線を動径rと偏角θで表したものです。
まずは最初に、これら３つによる「円の表示」を比較します。
- xy座標 x2+y2=a2
- 極座標 x=acosθ、y=asinθ
- 極方程式 r=a
2次曲線に関する極方程式は、[7]極方程式と２次曲線で解説しました。
●媒介変数表示曲線の分類
媒介変数表示曲線は、まず大きく分けて、パラメータが動径rと偏角θである場合とそうではない場合、たとえば t の場合があります。パラメータが動径rと偏角θである場合は、歴史的に数多くのものに固有の名称がつけらrています。名称は横文字のオンパレードでとっつきにくいのですが、さまざまな特徴で分類して表にしてみました。
・サイクロイド：円が直線上を（滑ることなく）転がるときに、円上のある一点が描く曲線
・外サイクロイド（＝エピサイクロイド、ハイパーサイクロイド）：
円が（直線ではなく）他の円周の「外側」を転がるときにできる、「円周上の1点」が描く曲線
・内サイクロイド（＝ハイポサイクロイド）：
円が（直線ではなく）他の円周の「内側」を転がるときにできる、「円周上の1点」が描く曲線
・トロコイド：円がある曲線（直線や円を含む）に沿って転がるとき、上の「サイクロイド」が「その円周の上の点」に限られるのに対し、トロコイドの場合は「その円周の上、内部又は外部の定点」が描く曲線のことを指します。
サイクロイド、エピサイクロイド、ハイポサイクロイドの比較図を次頁に示します。
・アステロイド：内トロコイドの一種であり、両軸上に端点を置く定長線分の包絡線としても描けます。
・リマソン曲線（パスカルの蝸牛形）とカージオイド（心臓形）：外トロコイドの一種です。
これらも次頁に示します。
●媒介変数表示曲線の積分
媒介変数表示曲線では、面積積分、回転体積分と弧長積分が出題されます。これらをさまざまな座標系で比較して示します。これらを使いこなすのが、媒介変数表示曲線の問題です。
●媒介変数表示曲線などの例題と入試問題
[1]サイクロイド例題
[2]アステロイド例題
[3]カージオイド例題
[4]その他の極座標形式の曲線
[4a]リマソン曲線の例題
[4b]デカルトの葉の問題