●関数方程式と微分方程式とは
関数方程式とは、関数形は与えられずに、関数が満たす方程式だけが与えられてその性質を調べる問題です。ここに微分係数が含まれたものが微分方程式です。関数方程式を解いた結果、微分形が得られてしまう場合もあり、その先に関数形を求めるのは微分方程式の問題になります。
●これらの方程式の解法
この手の問題では、変数に具体的な値を代入したり、微分演算を行ったりして着手点を探します。多くは指数関数、対数関数あるいは三角関数とそれらの組合せに帰着されます。多項式関数の問題では、次数がキーピントです。これが目算でわかれば大サービス問題です。したがって、これらの方程式は次の4つにグループ分けできます。
- (a)多項式関数の関数方程式
- (b)多項式関数ではない関数（超越関数）の関数方程式
- (c)微分形に持ち込む関数方程式
- (d)変数分離形の微分方程式
最初の3つの例題を紹介します。
［(a)多項式関数の関数方程式の例題］
[例題1] [B]多項式の関数方程式の問題(2017年昭和大／医245)
［(b)超越関数の関数方程式の例題］
[例題2] [C]２回の微積分が必要な積分方程式の問題（2018年日本医科大3）
［(c)微分形に持ち込む関数方程式の例題］
[例題3] [B]関数方程式の基本問題（2003年筑波大理系1）
[例題4] [B]関数方程式の例題（新作問題）
3つの小問を別頁に掲載します。
(c)の種の入試問題が他に見つかったら入試問題頁を作成します。
●変数分離形の微分方程式
微分方程式は、1980年代までは頻繁に出題されていましたが、一時すたれたものの、最近は教科書上で「発展的内容」として取り上げられていることもあり、「変数分離形」に限ってしばしば出題されています。微分方程式は、一種の積分です。下に示すように、左右両辺にそれぞれ関数や変数を分離した場合、「異なる変数」の関数と微分が等号でつながれてているということは、「両辺の差異が、積分して定数になる程度」であるということであり、両辺を積分して積分定数Cを付加し、この積分定数は初期条件で決める、という手順を追います。
[例題5]
最近は、変数分離形の微分方程式の代わりに、複数の関数の微分方程式問題が数題出題されていて、結構な難問です。これらも入試問題で紹介します。