三角不等式は、「三角形のいかなる２辺の長さの和も他辺の長さより大きい」という三角形の構成原則に根差しています。
|a|+|b|≧|c|=|a+b|、|b|+|c|≧|a|=|b+c|、|c|+|a|≧|b|=|c+a|
逆に、「三角形のいかなる辺の長さも他2辺の長さの差より大きい」ということから
|a|～|b|≦|c|=|a+b|、|b|～|c|≦|a|=|b+c|、|c|～|a|≦|b|=|c+a|
が成立します。三角不等式は、表現からわかるようにすべての「ベクトル」に対しても成立し、等号成立はベクトルの向きが一致するときです。
この不等式は、両辺を２乗すると、シュワルツの不等式に帰着されます。三角不等式の等号成立条件は若干複雑で、ベクトルの場合は「向きが同じか反対か」、実数の場合は「符号が同じか逆か」です。
[例題]
[例題][B]三角不等式が使えるベクトルの問題（2012年青山学院大／経済32）
この問題は置き換えがキーポイントの、２乗しないで解いて欲しい問題です。
