●相加平均≧相乗平均≧調和平均
「相加平均は相乗平均より大きい」というものです。この関係はすべての分野の問題で頻出します。項数によって係数などが変わる点に要注意。東大では超頻出の重要公式です。あまり登場しませんが、「相乗平均≧調和平均」という関係もあります。
●2-3項の相加平均≧相乗平均の証明
2項の相加平均≧相乗平均の関係は、平方完成で証明できます。3項の相加平均≧相乗平均の関係は、因数分解の手法で証明できます。
上に示したように、偶数項の場合の証明は比較的簡単ですが、n項の関係を証明するには、nを含むので、当然、数学的帰納法を利用して証明します。上の見出しからのリンクに、証明を示してあります。
●不等式の例題
[例題1] 相加平均≧相乗平均の関係を使わない不等式の例題
[B]不等式のやさしい問題（2015年阪大文1理2）
[例題2] 相加平均≧相乗平均の関係を使う不等式の例題
[B]球に外接する円錐の最大表面積の問題（2014年一橋大4）
文章題の証明に相加平均≧相乗平均の関係を使うあたりは、最近のはやりでしょう。
