本稿では応用問題を中心に構成しているので、数Ⅰからその発展で数Ⅱの内容まで含みます。
●式の展開と因数分解
高校数学では、「式の展開」と「因数分解」を逆の計算ととらえてほぼ同時に学ぶのに対し、方程式や因数定理はまったく別個に学びますが、実は因数分解は「方程式を解く基本」であり、この点をよく把握しないと、入試数学では思いもよらぬところでつまづきます。因数分解のキーポイントは次の３つです。
- 対称式・交代式の因数分解
- 3次式以上の因数分解
- 置換のテクニックの利用
これらを順に解説します。
●対称式・交代式の因数分解
たとえばa,b,cの多項式f(a,b,c)でaとbを入れ替えて得られる数式 が元の多項式と変わらないとき、つまり
- f(a,b,c)=f(b,a,c) のときf(a,b,c)を「aとbについての対称式」という。
- 文字を入れ替えて符号が変わる、すなわちf(a,b,c)=-f(b,a,c)であるとき、f(a,b,c)を「aとbについての交代式」という。
こんな名前を憶えても何にもならないのですが、これら対称式と交代式の中には、そのまま因数分解が出題されたり、問題の中で因数分解が必要になったりすることがあります。主な例題を上げておきましょう。これらは難しそうに見えますが「展開し、次数が一番小さい文字で因数分解する」というのが基本方針であり、それさえできれば因数分解できます。ただし3次式の場合には2つだけ必要な公式があります。
［因数分解公式］
［因数分解対称式例題］
●3次式以上の因数分解…因数定理の活用
3次式の１つの因数がわかっている場合の因数分解は考えずにできなければなりません。入試問題に出て来る3次式は因数分解できる場合が多く、次の3次式を因数分解する考え方を述べます。利用するのは「f(a)=0を満たすaが存在すればf(x)はx-aを因数に持つ」という因数定理です。
●因数分解…置換の活用
これは例題で示します。慣れれば「置換したと思って計算できる」ようになります。その方が手っ取り早いのですが、間違うリスクと裏腹です。
●その他の問題
その他の数式問題をまとめておきます。
・t+1/tの問題
・変数の数と実数の最大値
・多項式を決定する問題
・連分数の問題