分数関数の積分にも、「手順」があり「パターン」があります。対数関数や三角関数を利用しやすいように部分分数分解などで変形するのが分数関数積分のツボです。明確な方針をパターン化しておけば怖くはありません。
- 分子が分母より次数が高い場合、分子を分母で割って分子の次数を下げる。
- 分母の形と分母分子の関係によってパターンを選ぶ。
- 分母が1次式以外のべき乗の場合はそのままべき乗の積分
- 分母・分子が［f’/f］の場合や分母が1次式で分子が１の場合は対数関数利用
- 被積分関数が［f’/fの関数］の場合は置換積分利用
- ここまでが初級の積分で、これで積分できない場合はtanxを利用する
- 母がx^2+1の場合はtanxで置き換える
- 分母がax^2+bx+cの場合は平方完成してtanxで置き換える
文字で書いてもわかりにくいので図解します。分子の次数を分母より下げた後は、パターンは6つしかありません。
最後のパターンは誘導なしではほとんど出題されなかったのですが、2014年に防衛医大で誘導なしで出題されました。
[分数関数の積分の例題1]
[分数関数の積分の例題2]
