●置換積分の問題
数Ⅲ微積分の最骨頂は部分積分と置換積分の使いこなしです。置換積分活用のコツは、被積分関数の中で「f(x)とf'(x)の組合せを探し出すこと」です。なお、置換積分を「円の面積の一部」に帰着できる場合には、積分計算せずに面積計算する方が早くかつ、間違いがありません。
[置換積分の例題1]
[過程で三角関数を利用する置換積分]
次に紹介するのは、問題には三角関数はないが、三角関数を使わないと積分できないパターンです。無理関数を開く場合は、関数に絶対値記号が必要ですが、根号内が負になることは考えられないので、一般的には絶対値記号は不要になります。この３パターン以外は、高校数学の範囲ではほぼ計算不能です。
[置換積分の例題2]
定積分の場合は関数値の符号が確定できます。
大学数学ではもう１つ、双曲線関数を利用できます。その場合は「1-x^2」のみならず、「1+x^2」の積分にも置換積分が利用できます。双曲線関数は、双曲線関数で概要を解説します。