●積の微分と部分積分
関数の「積の微分」と「部分積分」は裏表の関係にあります。「部分積分」は、そのままでは積分不可能な関数を、都合よく前後２項に分けて、一方は微分し他方は積分することで、積分を実現する超絶テクニックです。
そのアイデアの出どころは「積の微分」であり、一部の項の移項を伴うゆえに右辺の２項の間には負号が入ります。
前後２項に分ける事情と、「積分できなくとも微分できる」関数はあるので、べき乗と三角関数・指数関数・対数関数の積の積分や、三角関数と指数関数の積の積分など「異種関数の積」の積分には部分積分が利用できる場合があり、これが数Ⅲ積分で大いに威力を発揮します。
●部分積分の回数
部分積分が１回で済むとは限りません。２回や３回必要な場合もあります。三角関数に２乗以上のべき乗がかかっている場合や、対数のべき乗の場合は２回以上の部分積分が必要になります。xのべき乗×対数関数の積分は、べき乗が何乗になろうと部分積分は１回だけで済みます。
[部分積分の例題1]
[部分積分の例題2]
