2次式 Ax^2+Bxy±Cy^2 のように「xyの項」がある場合には、うまく「回転」すると2次式Ax^2+Bxy+Cy^2は楕円に戻り、Ax^2+Bxy-Cy^2の形式は双曲線に戻ります。本講は、2013年獨協医大の問題の双曲線の回転の問題の解法を、順を追って詳しく解説しています。
この問題では、解法を指定していないため、加法定理を用いてもいいのですが角度不明のままでは面倒であり、複素数平面の方がはるかに簡単です。2013年ではまだ行列を使った回転の方法も使えたのでしょうが、ここでは現在許される複素数平面を使った解法を目標とします。こうやって、2次曲線と複素数平面の融合問題が作られます。
元の座標を(x,y)、回転した後の座標を(X,Y)とすると、それらの間の座標変換は次のようになります。
しかしこれでは、実用的には(X,Y)から(x,y)への回転です。(x,y)で記述された方程式を(X,Y)で記述された方程式に変換するには、上の逆の変換が必要です。
この関係を(x,y)で記述された方程式に代入すれば、(X,Y)で記述された方程式が得られます。もっと簡単につくるには、(x,y)から(X,Y)への変換を逆回転すればよいので、「-θの回転」と考えればもっと簡単に変換式が得られます。
次の例題２題をマスターして、2013年獨協医大の問題に挑戦してください。
[例題1] [B]楕円の回転の例題（新作問題）
[例題2] [B]楕円の逆回転の例題（新作問題）
[例題3] [D]双曲線の回転の問題（2013年獨協医大4）
