●本書著作の契機
本書をつくりだしたきっかけは、2017年に慶應大医学部入試で出題された、極方程式から包絡線を求める問題を見て驚いたからです。非常に良い問題で、条件から極方程式を作り、動径rの大きさの最大値が包絡線、すなわち曲線群の外縁の曲線を求めるという問題です。この問題に出会わなければ、この主題の完全対策は作らなかったでしょう。
この問題を解くには、極方程式というものをよく理解し、包絡線を求める手順に気が付き、これを解くという３段階の難関をクリアしなければなりません。相当に力がなければ解けない問題であり、難問中の難問なのですが、個々の内容はそう難しいものではありません。組み合わさっているから難しいのです。このような問題を解くために、どんな練習をしたらよいのか、それらを集積したのが本書です。
●本書に掲載した複素数平面問題
複素数平面問題が出題されたのは、2005年まで（数ⅡB）と2015年～2017年（数Ⅲ）であり、したがって新しい過去問が少ないので、本書では、右表に示すように、東大・京大・東工大・一橋大・東工大・慶応大で出題された2000年～2005年・2015年～2017年の問題を全問収録しました（調べたところ、東工大での出題があまりに少ないのには驚きました）。本書ではその他多くの良問を収録しています。複素数平面問題は大きく分けて次の5種類に分類できます。そしてほぼこれら5種類しかありません。さらに最後の２つは、他の分野との融合問題であり、最初の3つが大きな課題です。
- 複素数にかかわる計算問題（図形を使わない問題）
- 複素数平面上の図形問題（回転を使う／使わない）
- 複素数平面上の軌跡と領域の問題
- 複素数平面上の高次方程式の問題
- 複素数平面上の数列・漸化式の問題
●本書に掲載した2次曲線問題
この分野の問題は、2017年に慶應大医学部入試で出題された「極方程式から包絡線を求める問題」をスラスラと解けるようになるためには、どんな問題でトレーニングしたらよいのか、という目的で選びました。この他にも慶應大医学部では2012年に、「極方程式で表された曲線の回転体の体積の問題」が出題されており、極方程式問題は特に、医学部入試や西日本の公立大学の入試に多く出題されており、すべての難関大学の入試対策に適しています。
２次曲線問題は、次の内容に分割しました。「構造」で基本的事項を説明し、基本問題・応用問題を収録しました。その後で回転の問題と極方程式の問題、これは特に1つの章として解説しました。
- ２次曲線問題の構造
- ２次曲線などに関する計算問題
- 楕円・双曲線・放物線の問題
- 曲線の回転の問題
- 極方程式の問題
特に楕円・双曲線・放物線においては、典型問題である準円・準線の問題や弦の中点の軌跡の問題は、完全解説しました。極方程式は直交座標から極座標を介在して変換します。極方程式の問題の出題頻度はあまり高くはないのですが、「極方程式を使わなければ解けない問題」が存在する以上、この分野は忘れてはいけない分野です。
多くの場合、動径の大きさは偏角の関数であり、パラメータが形状を決める場合、偏角ごとの動径の最大値、これが包絡線の外形を示します。これが、2017年に慶應大医学部入試で出題された「極方程式から包絡線を求める問題」の構造です。本書により、受験生諸君が大きな武器を手にされることを祈願します。