このあたりから、証明が難しい問題が多いので厄介です。
●「隣り合う整数は互いに素」の証明
この定理は、整数論上で常識中の常識なのですが高校の教科書にはありません。ですから使ってよいかどうかは微妙な問題です。試験においては、常識と考えて解いて、時間が余ったら証明しておく、くらいの話でしょうか。この定理を使うと、後は多くは約数・倍数を使う計算問題になります。「互いに素」ということは「共通の約数が1以外にはない」ということであり、「共通な約数があるとしたら1」ということを示します。証明はかなり論理的で最初はとっつきにくいものです。
[証明]
隣り合う整数をn、n-1とし、これらに共通な約数mがあるとすると、a、b、mを正の整数として、
n=ma、n-1=mb
と書けます。すると、辺々減じて、
n-(n-1)=1=m(a-b)
となります。この関係式が成立するためには、a、b、mが正の整数であることから、
m=a-b=1
しかありません。すなわち共通な約数mは1、ということになります。2つの整数の共通因数が差１の約数でなければならないので、共通因数は1しかないということです。
[例題]
