●新記号問題の解き方
ガウス記号などの新記号問題は既習の数学とどう関係づけるかが課題です。「～を～で表す」という新記号問題の多くは、それを「何か計算できる方法で表す」のがキーポイントであり、これによって計算問題に持ち込めます。そうするとそんなにむずかしくなくなります。
しかし、ガウス記号は2000年代や2010年代に難関大で頻繁に出題されて、もう新記号問題とは言えなくなりました。ガウス記号問題は、方程式・不等式から数列・極限問題まで、すべての種類の入試問題を、末尾のリンクの先に掲載します。「ル・ジャンドルの定理」でもガウス記号が用いられます。
●ガウス記号問題の解き方
「ガウス記号」とは、「x以下の最大の整数」を[x]と表すもので、その簡単な問題は中学・高校入試でも出たことがあるかもしれません。ガウス記号に関しては、まず次の２つの表現に慣れておくことが重要です。
x-1＜[x]≦x あるいは [x]≦x＜[x]+1
ガウス記号問題はこれらの不等式を使って解きます。方法論がはっきりしているだけ、やさしい問題ともいえます。x-[x]を<x>や{x}と定義したものもガウス記号の亜種です。
[例題]
３つの方程式を示します。ガウス記号をあつかう際には、頭の中で、あるいは実際に、グラフを書いた方が安全です。[ ]=kの場合はそのまま分解し、[ ]＝[ ]の場合は=kとおいて解くのが定石です。
[例題]
次は[ ]の応用問題と[ ]から定義した{ }という記号の例題です。
●ガウス記号極限問題の解き方
[例題]
もう1つの大事な事項はガウス記号と極限計算との関係についての例題です。
●階乗に含まれる素数の数
●階乗に含まれる素数の数
知らなければまったくわからない、ガウス記号の応用の分野があります。それは次のような公式です。これは「ル・ジャンドルの定理」と呼ばれます。
まず簡単な例を示します。
20 !=20×19×18×17×16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
＝2,432,902,008,176,640,000
という大きな数にどんな素数がいくつ含まれているかを調べるには、20 !を素因数分解していっても答えは得られますが、もっと大きな、たとえば100 ! のような大きな数になると、その方法では大変時間がかかります。
20!に含まれる素数「2の個数」を求めてみましょう。20 !に含まれる2の個数は、２に1個、４に2個、６に1個、８に３個…とあって、これを表にすると次のようになり、２は合わせて18個あります。一般化して考えると、次の表を「横に集計する」ために、「nをpで割り続けてその商を足し合わせる」ということです。商を求めるためにガウス記号を利用しています。
まず、20を2で割ると、その商10は「2の個数：10」（１行目）です。次にその商10を2で割る（つまり20を4で割る）と、その商5は「4の個数：5」（２行目）を示し、この5を10に加えることで、20に4が5個含まれていることを勘案できます。
次にその商５を２で割る（つまり20を8で割る）と、その商2は「8の個数：２」（３行目）を示し、この２を15に加えることで、20に8が2個含まれていることを勘案できます。最後に20を16で割った商1（４行目）は20までの中に16が１個あることを勘案することになって、17に１を加えて、２の個数は18です。同様に、20を３で割り続けて商を合計すれば3の個数が、５で割り続けて商を合計すれば５の個数が得られる、ということです。
[例題]
[B]階乗の中にある2の数を計算する入試問題（2008早大／教育11）
[B]末尾の０の数を数える問題
