●不定方程式・不定不等式とは
「不定方程式」とは、方程式の数よりも未知数の数が多い方程式です。一般的に、方程式の数と未知数の数が同じ場合にはかならず方程式の解が定まりますが、方程式の数が未知数の数がより少ない場合は、解が１つに定まりません。しかしここで、「整数」という条件があれば解が定まることがあります。不定方程式に帰着できる整数問題は、比較的簡単な問題です。不等式の場合も同様に、得られる範囲から整数解が得られます。不定方程式にもヒントがあります。
●整数と自然数はどう違う？
「自然数」とある場合は、かならず「自然数は正の整数」という条件を利用します。
●与えられた条件はかならず使う。
「2より大きい」などという変わった条件があったら、「その条件を使わなければ解けない」ということです。
●積を含まない不定方程式
１次の不定方程式問題には、大きく分けて次の３つの解法があります。
(a) xy平面で考え、範囲を絞って調べ上げる（もっとも考えやすい）
(b) 分数で表現して因数を調べる（少し手間がかかる）
(c) 「互いに素」を使って因数を調べる（上級問題の練習）
［例題1］いずれかの方法で解く不定方程式問題[A]
上の3つの方法で解きました。
●積を含む不定方程式
2次式（積や2乗を含む）の場合は、置き換えや次の組合せを考えます。３次式以上の場合も同様です。２次の不定方程式の場合は、多くは因数分解・素因数分解で解けます。不定不等式の場合には、2変数ならxy平面を使うのが定石です。xy平面を使うと、「数え残しが起きにくい」のが最大の長所です。
- 解の公式・判別式
- 因数分解・素因数分解
- 平方和に変形
積が見えれば因数分解します。最初は積を含む不定方程式問題です。
［例題2］因数分解と素因数分解で解く不定方程式・不定不等式問題[B]
以降の問題で、判別式の無理式の不定方程式を解く場合などでは、次のような問題を解くことになります。
［例題3］平方根＝nとおいて因数分解と素因数分解で解く問題[B]
●不定方程式の応用問題
［例題4］因数分解と素因数分解で解く問題（2001年立命館大文系）[B]
複数変数の2次式になると、2次曲線が含まれるので格段に難しくなります。これは数1と数Cにまたがる内容であって、どんな参考書にも語られているのを見たことがありません。ここでじっくり準備しておかないと見当がつかないでしょう。判別式の無理式を処理するには上の例題3を利用することになります。
2次式「ax^2+2bxy+cy^2+dx+ex+f」は次のいずれかを表し、変数の範囲は()の中に表示します。ただし回転がかかっているので一意的には言えません。これらに整数や自然数の条件が合わさると、有限数の格子点に限られます。
- 2つの直線の積（x,yともにすべての実数）
- 楕円（x,yともに有限区間）
- 双曲線（x,yともに半直線区間）
- 放物線（x,yの一方が無限区間、一方が半直線区間）
ここで半直線区間と書いたのは、原点周りが欠けて、反対側は無限まで伸びる区間のことです。
これらはグラフで表示することもできますが、3次式や分数になると定型的な方法はなくなり、グラフも判別式も使えない反面、そうむずかしい問題は出なくなり、次のいずれかの方法で解けるはずです。
[B]平方根＝nとおいて因数分解と素因数分解で解く問題２題
●２次不定方程式の例題
［例題5］2次式の不定方程式問題[C]
［例題6］３変数の2次式の不定方程式問題[B]