●関数の挙動を分析する基礎問題
数Ⅲでの関数の挙動の解析は、1次導関数が0になる点とその点での2次導関数の符号が重要です。この種の問題が多分もっとも多いでしょうが、微積分の問題の中では最もやさしい問題なので、どんな関数が出てきても解ける力が必要です。
[例題] [A]数Ⅲ関数の最大値と最小値を求めるやさしい問題（2003年愛媛大理系41）
本問ならば、増減表を書くのも面倒ではないのですが、多項式関数など、導関数が簡単な形の場合には、増減表の代わりに２次導関数の符号を調べる方がはるかに簡単です。この問題を解くには、増減表がなくてもf’(x)=0 かつf’’(x)>0であるならば最小値、f’(x)=0かつf’’(x)＜0であるならば最大値 が生じるので、手間が省けます。なお、このテクニックは数Ⅲの範囲に属しますが、文系数学で使ってもまったく問題ありません。文系微積分の対象とする多項式関数に特に適しているテクニックです。
- [1]三角関数の面積の問題
- [2]三角関数の微分の問題
- [3]角度不明で解く三角関数の微分の問題
- [4]指数・対数関数・無理関数の微分の問題
- [5]分数関数の値域の問題
- [6]高次導関数と二項係数の問題