●大学入試に出題された近似の問題
近似の問題には、大きく分けて次の４つの種類があります。
- 1. x軸上のある値（あるいは原点）の近くのマクローリン展開を利用する問題
- 2. 「ベルヌーイの不等式」は、マクローリン展開の１次近似（直線近似）
- 3. 「曲率半径を持つ曲率円による近似」は、マクローリン展開の２次近似（曲線近似）
- 4. ニュートン近似では接線とx軸との交点を順に求め曲線とx軸との交点座標を求めます。
ニュートン近似は、関数をマクローリン展開（テイラー展開）の1次式（接線）で打ち切り、その1次方程式を解くことを繰り返す手法です。
1.マクローリン展開
「テーラー展開」（x軸上の特定値の近くの展開式）の特定値を原点にとったものが「マクローリン展開」です。その用途は非常に広く、近似式の大半はこの展開に基礎を置きます。もっとも所的なものは次に示す1次式であり、関数の原点近傍を直線で近似したものです。円近似など、もっと制度が必要な場合には２次以上の項まで残します。以降一般的な内容を述べます。
[例題1] [B]地平線までの距離の問題（新作問題）
2. ベルヌーイの不等式
y=e^xのx=0における接線y=x+1を考えると、x=0の点以外ではx+1<e^xの不等式が成立します。同時にx=0の近辺では、y=e^xをy=x+1で近似することが可能です。これは、指数曲線を原点近傍では１次関数で近似できることを意味しています。
詳細をベルヌーイの不等式に示します。
[例題2] [B]微分不等式でネピアの数の近似値を求める問題（2010年横浜市大／医4）
3. 曲率円による近似
前項のベルヌーイの近似は１次式での近似なのですが、この曲率円での近似は１次式よりは精度の高い近似になります。曲率円自体は高校数学の範囲にはないのですが、難関大では本問のように説明付きで出題されることがあります。
[例題3] [B]曲率中心の軌跡の長さの計算問題（2012年順天堂大／医15）
4. ニュートン近似
この種の問題は、数列の問題の一種として登場するわけですが、背景を理解していれば、気楽にこなせるでしょう。
[例題4] [B]ニュートン法の有名問題
