■中間値の定理
中間値の定理は、「関数 f が閉区間 [a,b] で連続、かつ f(a)≠f(b) ならば、f(a) と f(b) の中間の値 k に対して、f(c) =kを満たすような c （a<c<b）が存在する」というものであり、もっと簡単に言うと、「連続関数の両端の関数値の間の値を与える変数が必ず1つ以上（奇数個）存在する」というものです。
これを図示したものが上左図であり、k=0の場合が上右図です。「 f(a)とf(b) の符号が異なる場合、連続関数 f は必ずx軸と交点を持つ」（ということは f(x)=0が実数解をもつ）というように使います。微分の平均値の定理とともに利用することが多いのですが、中間値の定理だけを利用する問題もあります。
[例題1] [C]中間値の定理と極限の問題（2019年東大理科5）
●平均値の定理
平均値の定理には「微分の平均値の定理」と「積分の平均値の定理」の2つの種類があります。一般的に「平均値の定理」といえば「微分の平均値の定理」を意味しますが、「積分の平均値の定理」はかなりの頻度で出題されています。「平均値の定理」の証明には「ロルの定理」という基礎定理を補題として利用します。
[例題2] [C]●解法の多い極限値の問題（早稲田大有名問題）
